Gamma函数的一些分析

前言

最近在看数学的时候，看到了一个\({Γ(s)}\)(Gamma Function)，感觉很有意思，所以赶紧写下来，记录一下。

\(Γ(x)\)的定义

\(Γ(s)\) = \(\int_0^{+\infty}{e^{-x}x^{s-1}}dx\)，其中\(s > 0\)
看到这个定义，刚开始还是蛮头疼的，但是，后来随着对\(Γ(s)\)函数的分析和理解逐渐深入，才感叹到这个函数的发现简直就是一项奇迹!

\(Γ(s)的一些性质\)

1. \(Γ(s + 1) = sΓ(s)\)

证明如下：
\(Γ(s + 1) = \int_0^{+\infty}{e^{-x}x^{s}dx}\)

=\(\int_0^{+\infty}{x^{s}d{(-e^{-x})}}\)

=\(-x^{s}e^{-x}|_0^{+\infty}\) + \(s\int_0^{+\infty}{e^{-x}x^{s-1}}dx\)

=0 + \(sΓ(s)\)

故得证

2.\(Γ(p)Γ(1-p)=\frac{\pi}{sin{\pi}p}\)，\(0 < p < 1\)也称之为余元公式

值得提一点的是，余元公式是一个十分重要的公式，但是几乎所有的数学分析教材(包括高等数学，高等数学教材中几乎没有提及)都只是坐累简单的介绍，大部分都没有给出详细的证明，另一方面，余元公式在概率积分，欧拉公式，含参量广义积分的计算和证明都有应用。下面便对余元公式做出简单的证明。
证明如下：

引理1

对于\(0 < p < 1\), \(\int_0^{+\infty}{\frac{y^{p-1}}{1+y}dy} = \frac{1}{p} + \sum_{k=1}^{+\infty}{(-1)^{k}{(\frac{1}{p+k} + \frac{1}{p-k})}}\)

引理2

若\(0 < p < 1\)， 则\(\sum_{k=1}^{+\infty}{(-1)^{k}{(\frac{1}{p+k} + \frac{1}{p-k})}}=\frac{sin{p\pi} - p\pi}{psinp\pi}\)

\(\because{B(p,q)=\int_0^1{x^{p-1}{(1-x)^{q-1}dx}}}，其中(p,q > 0)\)

\(\therefore{设x=\frac{y}{1+y}}，其中y>0,则\)

\(B(p,q)=\int_0^{+\infty}{\frac{y^{p-1}}{{(1+y)}^{p+q}}dy}\) \(~--(1)\)

\(\frac{Γ(p)Γ(1-p)}{Γ(1)} = B(p, 1-p) 且Γ(1)=1\)

\(\therefore\)由引理1和引理2即可得到余元公式

\(Γ(p)Γ(1-p) = B(p, 1-p) = \int_0^{+\infty}{\frac{y^{p-1}}{1+y}}dy = \frac{\pi}{sinp\pi}\)

\(Γ(s)\)与阶乘的关系

\(\because{Γ(s)=sΓ(s-1)}\)

通过这个递推公式可以知道，\(Γ(s)=sΓ(s-1)=s(s-1)Γ(s-2)=...=s!\)
这就解释了这张图片的来源,图片来自知乎用户travorlzh

结语

其实，\(Γ(s)函数还有很多有意思的形式，其中包括与欧拉公式的联系，在复数域上的形式等等，后续如果有机会 <br>(好像网络中的尽力交付