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第7章-非线性方程求根

不动点：对于\(f(x)\)，若存在\(a\)使得\(f(a)=a\)，则称 \(x=a\)为\(f(x)\)的不动点。

参考链接：§1.2.6 不动点

7.1.2 简单迭代法（Jacobi迭代）

\[f(x)=0 \iff x = \phi(x) \]

利用\(x_{k+1} = \phi(x_k)\)迭代求解不动点，即得方程的根。

【例】求\(f(x)=x^3-x-1=0\)，在 \(x=1.5\) 附近的根。

\[x^3-x-1=0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{x+1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_0 = 初始值 \\ x_{k+1} = \sqrt[3]{x_k+1}, k =0,1,2,\dots \end{array} \right. \]

计算：
$ x_0 = 1.5$
$ x_1 = \sqrt[3]{x_0+1} = \sqrt[3]{1.5+1} = 1.35721 $
$ x_2 = \sqrt[3]{x_1+1} = 1.33086 $
\(\dots\)
$ x_6 = 1.32473$
$ x_7 = 1.32472$
$ x_8 = 1.32472$

\[x^* \approx 1.32472 即为方程的根 \]

\(\left\{ x \right\}\)

迭代收敛判定：

对于方程 $x=\phi(x), \phi(x) \in C[a,b] $ ，若

（1）当$x \in [a,b] $ 时，\(\phi(x) \in [a,b]\)
（2）\(\exists 0 \leq L < 1\)，使得$|\phi'(x)| \leq L < 1 $ 对 $ \forall x \in [a,b]$ 成立。

则任取\(x_0 \in [a,b]\) ，由 $x_{k+1}=\phi(x_k) $ 得到的序列\(\left\{ x \right\}_{k=0}^{\infty}\) 收敛于 \(\phi(x)\) 在 \([a,b]\) 上的唯一不动点。

并且有误差估计：

\[\begin{align} & ① |x^*-x_k| \leq \frac{1}{1-L}|x_{k+1}-x_k|\nonumber\\ & ②|x^*-x_k| \leq \frac{L^k}{1-L}|x_{1}-x_0| , \ (k=1,2,\dots) \nonumber \end{align} \]

\[\]

且存在极限 \(\lim_{k\rightarrow \infty}{ \frac{x^* - x_{k+1} }{x^*-x_k}} = \phi'(x^*)\)

上面的判定是不动点存在的充分条件

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