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第3章-函数逼近

3.1 内积空间

3.1.1 内积

设$ f(x), g(x) \in C[a,b], \rho(x)$ 是\([a,b]\)上的权函数，积分

\[(f, g) = \int_a^b \rho(x) f(x)g(x) dx \]

称为函数\(f(x)\) 与\(g(x)\) 在\([a,b]\) 上的内积。

\(C[a,b]\) 表示在区间\([a,b]\) 内连续的全体函数组成的集合。

满足内积定义的函数空间称为内积空间。因此，连续函数空间\(C[a,b]\) 上定义了内积就形成了一个内积空间。（我的理解是连续函数空间就是内积空间，只是差了个内积定义而已）

内积的四条公理：

1. $(f, g) = (g,f) $
2. $(cf, g) = c(f,g) $
3. $(f_1+f_2, g) = (f_1,g)+(f_2,g) $
4. $(f,f) \ge 0 \(；当且仅当\)f=0$ 时，$(f,f) =0 $

3.1.2 欧氏范数

\[||f||_2 = \sqrt{\int_a^b \rho(x)f^2(x)dx} = \sqrt{(f,f)} \]

称为\(f(x)\) 的欧氏范数。

3.1.3 带权\(\rho(x)\) 正交

若\(f(x), g(x) \in C[a,b]\) 满足

\[(f,g) = \int_b^a \rho(x)f(x)g(x)dx = 0 \]

则称\(f\) 和\(g\) 在\([a,b]\) 上带权\(\rho(x)\) 正交。

若函数族$ \phi_0(x), \phi_1(x), \dots ,\phi_n(x), \dots $ 满足

\[ (\phi_j, \phi_k) = \int_a^b \rho(x)\phi_j(x) \phi_k(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0, j\ne k \\ A_k > 0, j=k \end{array} \right. \]

就称\({\phi_k}\) 是\([a,b]\) 上带权\(\rho(x)\) 的正交函数族；
若\(A_k \equiv 1\) ，就称之为标准正交函数族。

3.1.4 线性无关

定义与向量的线性无关相似

例如，{$ x^k$ }\(, k = 0,1,2\dots\) 就是\(C[a,b]\) 上的线性无关函数族

定理：

函数族{$ \phi_k$ }\(, k = 0,1,2\dots,n-1\)在\([a,b]\)上线性无关的充分必要条件：它的克莱姆（Gramer）行列式\(G_{n-1} \ne 0\)，其中

\[ G_n-1 = G(\phi_0, \phi_1, \dots, \phi_{n-1}) = \left| \begin{array}{ccc} (\phi_0, \phi_0) & (\phi_0, \phi_1) & \dots & (\phi_0, \phi_{n-1}) \\ (\phi_1, \phi_0) & (\phi_1, \phi_1) & \dots & (\phi_1, \phi_{n-1}) \\ \dots & & \dots & \\ (\phi_{n-1}, \phi_0) & (\phi_{n-1}, \phi_0) & \dots & (\phi_{n-1}, \phi_{n-1}) \end{array} \right| \]

3.2 函数的最佳平方逼近

函数 \(f(x)\) 用n次多项式 $ s(x)= \sum_{k=0}^n a_k x^k $作最佳平方逼近，就是要找到一组系数{ $ a_k^* $ }，使得

\[||f(x)-s^*(x)||_2^2 = \int_a^b [f(x)-s^*(x)]^2dx = min_{s(x)\in H_n}||f(x)-s(x)||_2^2 \]

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