前置知识：
复数，单位根，多项式乘法，点值表示法，系数表示法 \(\cdots\)
单位根：
首先，我们在一个复平面中定义一个单位圆，将单位圆等分为 \(n\) 份，把位于单位圆上幅角为正且最小的向量定义为 \(n\) 次单位根，记为 \(\omega_n\)。
那我们来考虑一下单位根的奇妙性质：
首先根据复数的运算法则，两个复数相乘可以转化为复平面上的两个向量幅角相加，模长相乘，因此 \(\omega_{k=0,1,2 \cdots n}\) 实际上就是 \(\omega_n^{k=0,1,2 \cdots n}\)，当然它们也是方程 \(x^n=1\) 的根。
放一下这个经典图：
根据欧拉公式：
性质1
- \[\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k} \]
\[\begin{aligned} \omega_{2n}^{2k}&=\cos\frac{2\pi\times2k}{2n}+i\sin\frac{2\pi\times2k}{2n}\\ &=\cos\frac{2\pi\times k}{n}+i\sin\frac{2\pi\times k}{n}\\ &=\omega_{n}^{k} \end{aligned}\]证明：
性质2
- \[\omega_{n}^{\frac{n}{2}+k}=-\omega_{n}^{k} \]
\[\begin{aligned} \omega_{n}^{\frac{n}{2}}&=\cos\frac{2\pi\times\frac{n}{2}}{n}+i\sin\frac{2\pi\times\frac{n}{2}}{n}\\ &=\cos{\pi}+i\sin{\pi}\\ &=-1 \end{aligned}\]证明：
性质3
- \[ \sum\limits_{i=0}^{n-1}(\omega_n^k)^i=\left\{ \begin{aligned} n (k=0)\\ 0 (k\ne0) \end{aligned} \right. \]
证明：
当 \(k\neq 0\) 时，根据等比数列求和：
\[\sum\limits_{i=0}^{n-1}(\omega_n^k)^i=\frac{1-\omega_n^{nk}}{1-\omega_n^k}=0 \]因为 \(k\neq 0\) 所以保证了上式的分母不为 \(0\)。
当 \(k=0\) 时，显然原式为 \(n\)。
多项式乘法：
定义卷积为如下的一种关系：
\[h(k)=f*g=\sum_{i\circ j=k} f_i g_j \]其中 \(i\circ j=k\) 表示一种下标运算法则，当这个关系为 \(i+j=k\) 时，这就是多项式的乘法啦。
多项式表示法：
- 系数表示法：
就是常见的多项式表示法：\(\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i\) 这样我们会获得一个 \(\Theta(n^2)\) 多项式乘法。 - 点值表示法：
设原多项式为 \(H(x)\)，我们用 \(\{(x_0,H(x_0)),(x_1,H(x_1)),(x_2,H(x_2))\cdots(x_n,H(x_0))\}\) 来描述一个多项式，这样两个多项式 \(H(x)\) 与 \(F(x)\) 的乘积就可以很轻松的表示为 \(\{(x_0,F(x)H(x_0)),(x_1,F(x)H(x_1)),(x_2,F(x)H(x_2))\cdots(x_n,F(x)H(x_0))\}\)，对于单个点值可以 \(\Theta(n)\) 求解。
傅里叶变换
在开始之前，我们可以区分一下各种变换：
\(DFT\)：离散傅里叶变换 \(\rightarrow \Theta(n^2)\) 计算多项式乘法
\(FFT\)：快速傅里叶变换 \(\rightarrow\Theta(n\log n)\) 计算多项式乘法
\(FNTT/NTT\)：快速傅里叶变换的优化版 \(\rightarrow\) 优化常数及误差
\(FWT\)：快速沃尔什变换 \(\rightarrow\) 利用类似FFT的东西解决一类卷积问题
\(FMT\)：快速莫比乌斯变化
离散傅里叶变换
我们发现常规暴力卷积复杂度是 \(\Theta(n^2)\) 的，看起来很难优化，但是用点值表示法的多项式单次乘法可以 \(\Theta(n)\) 实现，虽然带入 \(n\) 个点依然是 \(\Theta(n^2)\) 的复杂度，但至少有着优化的可能。不过，一个点值表示的多项式没有太大价值，只有系数表示法的多项式才能有更加广泛的应用。因此，这启发我们寻找这样一个算法体系解决多项式乘法：先将系数表示法转为点值表示法，优化卷积，再将结果转回系数表示法，怎么办？
傅里叶想出用 \(n\) 个模长为1的复数与点值表示法来描述多项式，而这 \(n\) 个复数选取复平面单位圆上的 \(n\) 个等分点，也就是 \(\omega_n^k(k=0,1,2\cdots n-1)\)，这样也就实现了第一步：将系数表示法转为点值表示法，这也就是 \(DFT\)，即：
我们设 \(\vec{a}=(a_0,a_1,a_3\cdots a_n)\) 是原多项式 \(A(x)\) 的系数表达：
\[y_k=\sum_{i=1}^{n-1}\omega_n^{ki}a_i \]那么 \(\vec{y}=(y_0,y_1,y_3\cdots y_n)\) 即为 \(DFT_n(\vec{a})\)
那为什么要带入这个 \(\omega_n^i\)？这是因为单位根有着优美的性质，可以很好的实现点值表示法转为系数表示法，即 \(IDFT\)。这就要引出离散傅里叶变换的一个重要结论：把多项式 \(A(x)\) 的离散傅里叶变换结果作为另一个多项式 \(B(x)\) 的系数，取单位根的倒数带入 \(B(x)\)，将结果除以 \(n\) 就是 \(A(x)\) 的各项系数，我们来证明一下：
设 \(IDFT_n(\vec{y})=\vec{z}\)，则有：
\[\begin{aligned} z_k&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}y_i(\omega_n^{-k})^i\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{n-1}{(\omega_n^{ij}a_j)})(\omega_n^{-k})^i\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}{(\omega_n^{ij}a_j)}(\omega_n^{-ki})\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^{ij}\omega_n^{-ki})\\ &=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}a_j\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i\\ &=\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i) \end{aligned}\\ \]根据上文关于单位根的性质3的探究，我们知道：
\[\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i=\left\{ \begin{aligned} 1 (j=k)\\ 0 (j\ne k) \end{aligned} \right. \]因此有
\[\begin{aligned} z_k&=a_k\\ \vec{z}&=\vec{a} \end{aligned} \]\(\Box\)
快速傅里叶变换
经过上述运算我们的的确确的找到了一种算法的雏形，但它的暴力卷积依然是 \(\Theta(n^2)\) 的，我们来优化这个算法：
首先，我们将多项式 \(A(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i\) 以奇偶划分开来，那么我们得到两个新的多项式 \(A_1\) 和 \(A_2\)：
\[\begin{aligned} A_1(x)&=a_0+a_2x^1+a_4x^2+a_6x^3+\cdots+a_{n-2}x^{n/2-1}\\ A_2(x)&=a_1+a_3x^1+a_5x^2+a_7x^3+\cdots+a_{n-1}x^{n/2-1} \end{aligned} \]显然有
\[\begin{aligned} A(x)=A_1(x^2)+xA_2(x^2) \end{aligned} \]这样的递推关系显然启示我们分治来解决问题，那么此时原式的 \(DFT_n(A)\) 被分治到了 \(DFT_{n/2}(A_1)\) 和 \(DFT_{n/2}(A_2)\)，那我们不妨将 \(\vec{\omega}_n\) 分别代入 \(A_1\) 与 \(A_2\) 考虑：
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