博弈论专题
Nim游戏
内容:
有 n 堆石子,每堆石子的石子数给出,甲乙两人回合制取石子,每次可以取任意一堆石子的任意多个(可以直接取完,但不能不取),每个人都按照最优策略来取(抽象),问先手必胜或先手必败?
结论:
设有 n 堆石子,每堆的个数分别为 a1 , a2 , a3 , …… , an-1 , an 。则有:
先手必胜态:a1 ^ a2 ^ a3 ^ …… ^ an-1!= 0
先手必败态:a1 ^ a2 ^ a3 ^ …… ^ an-1 = 0
证明:
每堆石子数的异或和等于零,说明:二进制位下,每个数的各位数对齐。将 2^0 , 2^1 , 2^2 , …… , 2^x 各位的 1 相加,每位一的个数和必定是偶数个(含0)。
先手必胜态:先手必然可以拿走一些石子,使异或和为0(感性可理解)。后手拿走石子后,异或和必然不为零,因为同一二进制位上最多只能拿一次(只能拿同一堆内的),又不能不拿。直到先手拿走最后一个。
先手必败态同理。
拓展:
台阶型Nim游戏,同样是异或和,必胜态与必败态之间的转化,自己推。
有向图游戏
内容:
给定一个有向无环图,图中只有一个起点,在起点上放一个棋子,两个玩家轮流沿着有向边推动棋子,每次走一步,不能走的玩家失败。
定理:
mex运算:mex( S ) 为集合 S 中没有的最小非负整数。 例:mex( { 1,2,3 } ) = 0 , mex( { 0 } )= 1
SG函数:SG(x) = mex( { SG(y1),SG(y2),SG(y3),……,SG(yk) } ) (其中y1等是x可以走到的点)
SG定理:i)当这个游戏只有一个有向图时,若 SG(start) != 0,则先手必胜;反之先手必败。
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证明:因为起点值不为 0,所以它必定可以移动到一个值为 0的点,值为零的点又只能移动到值不为零的点,当值为 0 的点是走不动的点时,后手就输了,故后手必输
ii)当有多个有向图时,若 SG(s1) ^ SG(s2) ^ SG(s3) ^ …… ^ SG(sn) != 0 时先手必胜;反之先手必败
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证明:此时每一个有向图游戏的起点处都有一颗棋子,先手后手可能走的是不同图上的棋子。若异或和不为 0,则先手一定可以选择其中一个有向图,那个点 (x) 所连的点的 SG() 值是 [ 0,SG(x) ),必定有构造将所有的 SG() 的异或值为 0(此时移动过后的有向图start发生改变),将必败态留给对手。当所有的 SG() 值都为不能继续走的 0 时,先手获胜。