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【学习笔记】莫比乌斯反演

时间：2023-10-23 17:25:50浏览次数：38  
标签：frac 函数 积性 乌斯 sum mid mu 反演 莫比

前言/声明

首先，本人的数论水平极低，目前莫反只是刚刚入门的水平，此博客的主要作用是用于记录本人的学习过程，真的想要深入了解莫反的话这边推荐 cmd 大佬的博客（点这里），应该对你有更大帮助。

建议学习的时候能多理解些就多去理解，少硬记些结论，这样更不容易忘记。

前置知识：最基础的数论。

0 基本定义与符号

  • 整除：对于任意两个整数 \(a,b\)，如果有 \(a\bmod b=0\)，则称 \(b\) 整除 \(a\)，记作 \(b\mid a\)。
  • 最大公约数：对于任意两个整数 \(a,b\)，称 \(d\) 是 \(a,b\) 的最大公约数当且仅当 \(d\) 是能整除 \(a,b\) 的最大整数，记作 \(\gcd(a,b)\)，或简记为 \((a,b)\)。
  • 艾弗森括号：\([???]\) 表示的是，如果中括号内的东西为真，则值为 \(1\)，否则为 \(0\)。比如：\([1.14>0.514]=1,\ [2<9]=0\)。
  • 欧拉函数：对于正整数 \(n\)，欧拉函数表示 \([1,n]\) 内与 \(n\) 互质的正整数的个数，记作 \(\varphi(n)\)。

1 数论函数与狄利克雷卷积

1.1 数论函数

定义：定义域为正整数（陪域为复数）的函数。

如果下文中没有特殊说明，所有提到的函数都是数论函数，所有提到的数也均为整数。

1.1.1 积性函数

定义：如果数论函数 \(f\) 满足对于任意两个互质的正整数 \(a,b\) 都有 \(f(a)f(b)=f(ab)\)，则称 \(f\) 是一个积性函数。

就比如大家应该很熟悉的欧拉函数 \(\varphi\)，以及下文会提到的莫比乌斯函数 \(\mu\)，都属于积性函数。

1.1.2 完全积性函数

定义：如果数论函数 \(f\) 满足对于任意两个正整数 \(a,b\)，没有任何其他限制，都有 \(f(a)f(b)=f(ab)\)，则称 \(f\) 是一个完全积性函数。

下面，为大家介绍几个下文会经常用到的完全积性函数：

  • 恒等函数 \(I\)，对于所有正整数 \(n\)，都有 \(I(n)=1\)，经常作为废话出现。
  • 元函数 \(e\)，对于所有正整数 \(n\)，\(e(n)=[n=1]\)，即当且仅当 \(n=1\) 时值为 \(1\)，否则为 \(0\)，是狄利克雷卷积的单位元（下文会提到）。
  • 单位函数 \(id\)，对于所有正整数 \(n\)，\(id(n)=n\)。
  • 幂函数 \(id^x\)，对于所有正整数 \(n\)，\(id^x(n)=n^x\)，单位函数是幂函数的特殊情况。

显然，完全积性函数 \(\in\) 积性函数。

1.2 狄利克雷卷积

定义：设 \(f\) 和 \(g\) 是两个数论函数，则它们的狄利克雷卷积是一个新的数论函数，记作 \(f*g\)，规则如下：

\[f*g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]

可以理解为对数论函数定义的一种运算。

比如，\(f*g(8)=f(1)g(8)+f(2)g(4)+f(4)g(2)+f(8)g(1)\)。

狄利克雷卷积满足以下运算律：

  • 交换律：\(f*g=g*h\)。
  • 结合律：\(f*g*h=f*(g*h)\)。
  • 分配律：\(f*(g+h)=f*g+f*h\)，这里数论函数的加法定义为点值相加，即 \((f+g)(n)=f(n)+g(n)\)。

比较显然，直接把式子套上去就能证明，具体过程这里不再给出。

对于任意数论函数 \(f\)，总是有 \(f*e=f\)，因此 \(e\) 是狄利克雷卷积的单位元。

证明：\(f*e(n)=\sum_{d\mid n}f(d)e(\frac{n}{d})\)，显然当且仅当 \(\frac{n}{d}=1\)，即 \(d=n\) 时 \(f(d)\) 对结果才会有贡献。

对于任意数论函数 \(f\) 和 \(g\)，如果 \(f*g=e\)，则称 \(g\) 是 \(f\) 在狄利克雷卷积意义下的逆，也记作 \(f^{-1}\)。

1.3 相关性质

  • 对于一个积性函数 \(f\)，一定有 \(f(1)=1\)。

    证明：由积性函数定义，得 \(f(1)=f(1)f(1)\)，所以 \(f(1)=1\)。

  • 对于一个积性函数 \(f\)，\(f(n)=f(p_1^{e_1})f(p_2^{e_2})...f(p_m^{e_m})\)，其中 \(p_1,p_2,...p_m\) 和 \(e_1,e_2,...,e_m\) 分别对应 \(n\) 质因数分解后的每个质因子及其对应次数。

    证明：\(p_1^{e_1},p_2^{e_2},...,p_m^{e_m}\) 显然互质，由积性函数定义可得上式。

  • 两个积性函数的狄利克雷卷积仍是积性函数。

    证明：设 \(f,g\) 是两个积性函数，\(a,b\) 是两个互质的正整数，它们的狄利克雷卷积为 \(h\)。

    \[\begin{aligned} h(a)h(b)&=\sum_{d\mid a} f(d)g(\frac{a}{d}) \sum_{t\mid b} f(t)g(\frac{b}{t}) \\ &=\sum_{d\mid a} \sum_{t\mid b} f(d)f(t)g(\frac{a}{d})g(\frac{b}{t}) \end{aligned} \]

    考虑合并求和符号，改为枚举 \(dt\)，\(\sum\) 右边的部分显然可以根据积性函数性质合并：

    \[\begin{aligned} &=\sum_{dt\mid ab} f(dt)g(\frac{ab}{dt}) \\ &=h(ab) \end{aligned} \]

    原命题得证。

2 莫比乌斯函数

了解了上面的前置知识之后，我们就可以逐步引出主角莫比乌斯函数了。

2.1 来源

假设现在有两个单变量函数 \(F\) 和 \(f\)，它们之间满足如下关系：

\[F(n)=\sum_{d\mid n}f(d) \]

如果 \(f\) 函数的值易求，那么我们显然根据上式就可以算出 \(F\) 的值了。

不过现在又有一个新的问题，如果易求的函数是 \(F\)，那么我们该如何求出 \(f\) 的值呢？

我们考虑将上面的式子变为狄利克雷卷积的形式：

\[\begin{aligned} F(n)&=\sum_{d\mid n} I(d)*f(d) \\ F&=I*f \end{aligned} \]

两边同时乘上 \(I\) 的逆，即 \(I^{-1}\)，可得：

\[f=F*I^{-1} \]

那么如果我们能够求出 \(I^{-1}\) 是什么，\(f\) 也就能够求出来了。

而这个 \(I^{-1}\)，就是我们的莫比乌斯函数 \(\mu\)。

但是新的问题又来了，\(\mu\) 函数的值到底是什么呢？

2.2 定义

首先，\(\mu\) 是一个积性函数，因为积性函数的逆还是积性函数。

而一个积性函数的逆其实是可以构造出来的，具体构造的方法：点这里查看。

因为比较复杂（其实是我不会），具体过程这里不再具体给出。

莫比乌斯函数的定义如下：

  • 若 \(n=1\)，则 \(\mu(n)=1\)。
  • 若 \(n=p_1p_2...p_k\)，\(p_i\) 是互不相同的质数，那么 \(\mu(n)=(-1)^k\)。
  • 否则 \(\mu(n)=0\)。

显然，\(\mu\) 的取值只有 \(-1,0,1\) 三种，这决定了其本质其实为容斥系数。

2.3 相关性质

  • 对于任意的正整数 \(n\)，总是有：

    \[e(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d) \]

    显然，因为 \(\mu=I^{-1}\)，而上式等价于 \(e=\mu*I\)。下面给出具体证明过程：

    • 当 \(n=1\) 时显然成立。

    • 当 \(n\not=1\) 时，对 \(n\) 进行质因子分解得 \(n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}...p_k^{e_k}\)。在 \(n\) 的所有因子当中，当且仅当其所有质因子次数都是 \(1\) 时 \(\mu\) 值才不为 \(0\)，而含有 \(r\) 个不同质因子的因子有 \(C_k^r\) 个，那么显然有：

      \[\begin{aligned} \sum_{d\mid n}\mu(d)&=C_k^0-C_k^1+C_k^2+...+(-1)^kC_k^k \\ &=\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^i \end{aligned} \]

      根据二项式定理 \(\sum_{i=0}^kC_k^ix^iy^{n-i}=(x+y)^k\)，令 \(x=-1,y=1\)，代入可得原式为 \(0\)。

  • 对于任意的正整数 \(n\)，总是有：

    \[\varphi(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\frac{n}{d} \]

    上式等价于 \(\varphi=\mu*id\)，证明涉及较复杂的容斥，不具体展开。

2.4 程序求解

  • 质因数分解暴力求解，直接根据定义即可，单次复杂度 \(\mathcal{O}(\sqrt n)\)。

  • 根据积性函数性质，线性筛预处理，总复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。

    void init(int n){
		memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
		isPrime[1]=0;mu[1]=1;
		For(i,2,n){
			if(isPrime[i]) pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
			For(j,1,cnt){
				if(i*pri[j]>n) break;
				isPrime[i*pri[j]]=0;
				mu[i*pri[j]]=(i%pri[j]==0)?0:-mu[i];
				if(i%pri[j]==0) break;
			}
		}
}

3 莫比乌斯反演公式

  • 公式一：

    \[[n=m]=[n|m]\sum_{d\mid (n/m)}\mu(d) \]

    证明：显然 \([n=m]\Leftrightarrow[n\mid m][n/m=1]\)，由 \(e=\mu*I\)，用 \(e(n/m)\) 替换掉 \([n/m=1]\) 可得上式。

  • 公式二：

    \[F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]

    证明：见上文 2.1 部分，不再重复。

  • 公式三：

    \[F(n)=\sum_{n\mid d}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\sum_{n\mid d}\mu(\frac{d}{n})F(d) \]

    限于本人水平，不证。

4 例题

目前准备了三四道，但都是十分基础的那种入门题，有空立马来写。。。

4.1 公式一的应用

公式一是最好掌握，但也是最需要掌握的内容，下面我们来几道题实战一下。

【例题一】互质数对

题目大意：\(Q\) 次询问，每次给定 \(n,m\)，求

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[(i,j)=1] \]

其中 \(1\le n,m,Q\le 10^5\)，\(m\le n\)。

题目分析：考虑用公式一来替换 \([(i,j)=1]\)，变成求解：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d\mid (i,j)}\mu(d) \]

考虑一个经典结论：\(d\mid(i,j)\Leftrightarrow d\mid i\land d\mid j\)，此时变为求解：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d\mid i\land d\mid j}\mu(d) \]

再接下来，我们再使用一个经典套路——交换枚举顺序，观察交换后的新限制。

考虑如果我们先枚举 \(d\)，那么此时就变为了给 \(i\) 和 \(j\) 分别添加了 \(d\mid i\) 和 \(d\mid j\) 的限制，变成了：

\[\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{d\mid i}\sum_{d\mid j}1 \]

考虑 \(\sum\limits_{d\mid i}\sum\limits_{d\mid j}1\) 这项如何处理，其实就相当于是 \(n\) 以内 \(d\) 的倍数的数量和 \(m\) 以内 \(d\) 的倍数的数量之积，显然前者其实就是 \(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)，后者其实就是 \(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\)，那么现在就变成了：

\[\sum_{d=1}^n\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor \]

如果我们用线性筛预处理 \(\mu\)，现在单次询问的复杂度已经降到了 \(\mathcal{O}(n)\)，但对于题目中的数据范围还是无法通过。

但是很显然 \(\sum\) 后面的那些可以使用预处理 \(\mu\) 前缀和+整除分块的方法，这样我们单次询问的复杂度可以做到 \(\mathcal{O}(\sqrt n)\)，总时间复杂度降为 \(\mathcal{O}(n+T\sqrt{n})\)，问题解决。

如果你不会整除分块，点这里。

int T,n,m,cnt,pri[N],mu[N],sm[N];
bool isPrime[N];

void init(int n){  //预处理 mu
	memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
	isPrime[1]=0;mu[1]=-1;
	For(i,2,n){
		if(isPrime[i]) pri[++cnt]=i,mu[i]=1;
		For(j,1,cnt){
			if(i*pri[j]>n) break;
			isPrime[i*pri[j]]=0;
			mu[i*pri[j]]=(i%pri[j]==0)?0:-mu[i];
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
	For(i,1,n) sm[i]=sm[i-1]+mu[i];  //对 mu 前缀和
}

ll calc(int n,int m){  //整除分块
	ll ans=0;
	for(int l=1,r=0;l<=min(n,m);l=r+1){
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		ans+=1ll*(n/l)*(m/l)*(sm[r]-sm[l-1]);  //计算答案
	}
	return ans;
}

void Main(){
	init(1e5);read(T);
	while(T--){
		read(n,m);
		printf("%lld\n",calc(n,m));
	}
}

【例题二】\(\gcd\) 求和

题目大意：给定你 \(n\)，试求：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j) \]

其中 \(n\le 2\times10^6\)，这意味着 \(\mathcal{O}(n\sqrt n)\) 的复杂度将无法通过。

题目分析：我们可以试着继续整出来上题中那种 \([(i,j)=1]\) 的形式，方便我们求解。

首先，我们考虑去枚举 \(\gcd\) 的结果 \(d\)，变成如下形式：

\[\sum_{d=1}^n d\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(i,j)=d] \]

经典结论：\((i,j)=d\Leftrightarrow (i/d,j/d)=1\)，套用到上式：

\[\sum_{d=1}^n d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[(i,j)=1] \]

考虑故技重施，再用上一题的方法进行变形：

\[\begin{aligned} \sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[(i,j)=1] \\ \sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{k\mid (i,j)}\mu(k) \\ \sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{k\mid i\land k\mid j}\mu(k) \\ \sum_{d=1}^nd\sum_{k=1}^n\mu(k)(\frac{n}{dk})^2 \end{aligned} \]

分析下此时的复杂度，后面那个 \(\sum\) 可以预处理前缀和+除法分块，已经快了很多了，但仍为 \(\mathcal{O}(n\sqrt n)\)。

蛇皮操作之——改变枚举量，令 \(T=dk\)，先枚举 \(T\)，然后再变成：

\[\sum_{T=1}^n\sum_{d\mid T}d\mu(\frac{T}{d})(\frac{n}{T})^2 \]

由 \(\mu*id=\varphi\)，发现还可以继续化为：

\[\sum_{T=1}^n\varphi(T)(\frac{n}{T})^2 \]

显然可以线性筛出 \(\varphi\) 并求前缀和，然后上个除法分块就行了，这样最后的复杂度为 \(\mathcal{O}(n+\sqrt n)\)。

ll n,cnt,pri[N],phi[N],s[N];
bool isPrime[N];

void init(int n){
	memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
	isPrime[1]=0;phi[1]=1; 
	For(i,2,n){
		if(isPrime[i]) pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){
			isPrime[i*pri[j]]=0;
			if(!(i%pri[j])){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
		}
	}
	For(i,1,n) s[i]=s[i-1]+phi[i];
}

ll calc(int n){
	ll res=0,r;
	for(int l=1;l<=n;l=r+1){
		r=n/(n/l);
		res+=(s[r]-s[l-1])*(n/l)*(n/l);
	}
	return res;
}

void Main(){
	read(n);init(n);
	printf("%lld",calc(n));
}

标签：frac,函数,积性,乌斯,sum,mid,mu,反演,莫比
From： https://www.cnblogs.com/los114514/p/17782964.html

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