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EM@直线的参数方程

时间：2023-10-23 17:05:48浏览次数：40

标签：EM 直线方程转换方程组参数向量

文章目录

abstract
直线参数方程

从运动轨迹的角度
从普通方程转换导参数方程
向量法

参数方程间的转换

从第3型转化为第2型方程组

例

abstract

平面直线的参数方程的3种表示形式
直线参数方程间的转换

直线参数方程

以下从不同角度推导直线参数方程
分别记为第1,2,3形式参数方程

从运动轨迹的角度

直线可以看作是质点匀速运动的曲线
设质点从 $EM@直线的参数方程_物理意义$ 出发,沿着与 $EM@直线的参数方程_方程组_02$ 轴成 $EM@直线的参数方程_方程组_03$ 角的方向作匀速直线运动,其速录为 $EM@直线的参数方程_方程组_04$ ,把速度再 $EM@直线的参数方程_参数方程_05$ 轴上分解,大小分别为 $EM@直线的参数方程_方程组_06$ , $EM@直线的参数方程_物理意义_07$
设 $EM@直线的参数方程_物理意义_08$ 为 $EM@直线的参数方程_方程组_09$ 时刻质点所在位置,则如下参数方程组(1) $EM@直线的参数方程_方程组_10$

$EM@直线的参数方程_方程组_11$ ;
$EM@直线的参数方程_物理意义_12$ ;

若不考虑物理意义,取参数 $EM@直线的参数方程_参数方程_13$ ,方程组(1)就是直线的一种参数方程,参数为 $EM@直线的参数方程_方程组_09$

从普通方程转换导参数方程

设直线的点斜式方程为 $EM@直线的参数方程_物理意义_15$

其中 $EM@直线的参数方程_方程组_16$ , $EM@直线的参数方程_物理意义_17$ 为直线的倾斜角( $EM@直线的参数方程_参数方程_18$ );
则 $EM@直线的参数方程_参数方程_19$ = $EM@直线的参数方程_参数方程_20$ , $EM@直线的参数方程_参数方程_21$
即 $EM@直线的参数方程_物理意义_22$ = $EM@直线的参数方程_参数方程_23$ ,令其比值为参数 $EM@直线的参数方程_方程组_24$ ,即有

$EM@直线的参数方程_参数方程_25$ , $EM@直线的参数方程_物理意义_26$ = $EM@直线的参数方程_方程组_27$
这里的参数 $EM@直线的参数方程_参数方程_28$ 有明显的几何意义: $EM@直线的参数方程_物理意义_29$ 表示直线上的任一点 $EM@直线的参数方程_方程组_30$ 到定点 $EM@直线的参数方程_参数方程_31$ 的距离

整理:得方程组(2)参数 $EM@直线的参数方程_参数方程_32$ ,

$EM@直线的参数方程_方程组_33$ ;
$EM@直线的参数方程_物理意义_34$

向量法

设直线过点 $EM@直线的参数方程_方程组_35$ ,且与平面向量 $EM@直线的参数方程_参数方程_36$ 平行 $EM@直线的参数方程_参数方程_37$ ,
在直线上任取点 $EM@直线的参数方程_方程组_38$ ,则向量 $EM@直线的参数方程_物理意义_39$ , $EM@直线的参数方程_参数方程_40$ = $EM@直线的参数方程_方程组_41$
两向量平行的充要条件是 $EM@直线的参数方程_物理意义_42$ ,记该比值式比值为 $EM@直线的参数方程_物理意义_43$ ,
整理得方程组(3)

$EM@直线的参数方程_方程组_44$ ,
$EM@直线的参数方程_方程组_45$ ,
参数 $EM@直线的参数方程_物理意义_46$

参数方程间的转换

从第3型转化为第2型方程组

方法1:

设(3)转换的第2型方程组为

$EM@直线的参数方程_物理意义_47$
$EM@直线的参数方程_物理意义_48$

和(3)比较可知, $EM@直线的参数方程_参数方程_49$ ; $EM@直线的参数方程_方程组_50$ ,则 $EM@直线的参数方程_方程组_51$
只要求出 $EM@直线的参数方程_物理意义_52$ , $EM@直线的参数方程_方程组_53$ 关于 $EM@直线的参数方程_物理意义_54$ 的表示式即可:

$EM@直线的参数方程_物理意义_55$ = $EM@直线的参数方程_方程组_56$
$EM@直线的参数方程_方程组_57$
根据 $EM@直线的参数方程_参数方程_58$ 的来取定两个式子的符号:
$EM@直线的参数方程_方程组_59$
$EM@直线的参数方程_方程组_60$

方法2:

由于2型方程中的 $EM@直线的参数方程_物理意义_17$ 是直线的倾斜角,因此,根据直线某个同向方向向量 $EM@直线的参数方程_参数方程_62$ 可得
$EM@直线的参数方程_物理意义_63$ : $EM@直线的参数方程_参数方程_64$ ; $EM@直线的参数方程_方程组_65$
$EM@直线的参数方程_参数方程_66$ : $EM@直线的参数方程_物理意义_67$ ; $EM@直线的参数方程_物理意义_68$
两组都可以:验证:

$EM@直线的参数方程_参数方程_69$ : $EM@直线的参数方程_方程组_33$ ; $EM@直线的参数方程_物理意义_34$
$EM@直线的参数方程_物理意义_72$ : $EM@直线的参数方程_方程组_73$ ; $EM@直线的参数方程_参数方程_74$
当 $EM@直线的参数方程_物理意义_75$ 时 $EM@直线的参数方程_参数方程_76$ 和 $EM@直线的参数方程_参数方程_77$ 时 $EM@直线的参数方程_方程组_78$ 都同时在 $EM@直线的参数方程_物理意义_79$ 上,说明 $EM@直线的参数方程_物理意义_79$ 是同一条直线
或者分别将 $EM@直线的参数方程_参数方程_69$ , $EM@直线的参数方程_物理意义_72$ 化为普通方程,可得相同的直角坐标方程: $EM@直线的参数方程_方程组_83$

例

设直线 $EM@直线的参数方程_参数方程_84$ ; $EM@直线的参数方程_物理意义_85$ ;将其表示为第2形式参数方程
从第3型转化为第2型:

$EM@直线的参数方程_参数方程_86$ = $EM@直线的参数方程_参数方程_87$ ; $EM@直线的参数方程_方程组_88$ = $EM@直线的参数方程_参数方程_89$ = $EM@直线的参数方程_物理意义_90$
另一组取值 $EM@直线的参数方程_参数方程_91$ , $EM@直线的参数方程_方程组_92$ 也可以
两组取值都有( $EM@直线的参数方程_物理意义_93$ )
所以

$EM@直线的参数方程_物理意义_94$ ; $EM@直线的参数方程_参数方程_95$
$EM@直线的参数方程_参数方程_96$ ; $EM@直线的参数方程_物理意义_97$

标签：EM,直线,方程,转换,方程组,参数,向量
From： https://blog.51cto.com/u_15672212/7988705

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