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第2章 数理统计的基本概念

在概率论中，所研究的随机变量，它的分布都是假设已知的。
在数理统计中，所研究的随机变量，它的分布是未知的。

 

2.1 简单随机样本

数理统计的核心问题：由样本推断总体

为了了解总体X的分布规律或某些特征，往往通过从总体中抽取一部分个体，根据从这些个体获得的数据来对总体的分布做出推断，

 

2.1.1总体与个体

总体：研究对象的全体
样本：总体中抽取的一部分个体。
样本容量：样本中所含个体的数量。
抽样：从总体中抽取若干个体的过程。其目的是为了获取样本以推断总体的性质。
 

2.1.2简单随机样本

样本的二重性：样本要能很好的反映总体的特征，因此需要具有如下性质。

1. 同分布性：要求样本\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)同分布且与总体\(X\)具有相同的分布。
2. 独立性：要求样本\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)相互独立

设\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)是来自总体\(X\)的容量为n的样本.由于\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)都是从总体\(X\)中随机抽取的，它的取值就在总体\(X\)的可能取值范围内随机取得，自然\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)也是随机变量

定义1. 设\(X\)是具有分布函数\(F\)的随机变量，若\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)是具有同一分布函数\(F\)的、相互独立的随机变量，则称\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)为从分布函数\(F\)(或总体\(F\)、或总体\(X\))得到的容量为\(n\)的简单随机样本，简称样本，它们的观察值\(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\)，称为样本观察值。
 

样本可以看成一个随机向量，写成\((X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})\)，此时样本值相应地写成\((x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})\).
若\((x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})\)与\((y_{1},y_{2},y_{3},...,y_{n})\)都是对应于样本\((X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})\)的样本值，一般来说它们是不相同的。

 

关于样本的分布有如下结论：
 设总体\(X\)的分布函数\(F(x)\)，则样本\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)的联合分布函数为

\[ F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\prod_{i=1}^{n}F(x_{i}) \]

  若总体\(X\)是离散型随机变量，其分布律为\(P\{{X=x_{i}}\}=p(x_{i})(i=1,2,...)\)，则样本\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)的联合分布律为：

\[ P\{{X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},..,X_{n}=x_{n}}\}=\prod_{i=1}^{n}p(x_{i}) \]

 若总体\(X\)是连续型随机变量，其概率密度函数为\(f(x)\)，则样本\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)的联合概率密度函数为：

\[ f(x_{1},x_{2},..,x_{n})=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i}) \]

2.1.3常用统计量

定义2：设\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)是来自总体\(X\)的一个样本，若样本函数\(g(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})\)中不含有任何未知参数，则称\(g(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})\)为统计量.
 例如:若

因为\(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}\)都是随机变量，而统计量 \(g(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})\)是随机变量的函数，因此统计量也是一个随机变量.设\((x_{1},x_{2},..,x_{n})\)是相应于样本\(X_{1},X_{2},..,X_{n}\)的样本值，则称\(g(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})\)是\(g(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})\)的观察值。

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