Chapter 1
复指数的性质
\(e^{j\theta}=cos\theta+jsin\theta\)
由此推出 \(cos\theta\) 是复数的实部，\(sin\theta\) 是指数的虚部，且对于任何模数为 \(1\) 的复数，
\[Re\{e^{j\theta}\}=cos\theta=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}\\ Im\{e^{j\theta}\}=sin\theta=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2} \]函数的拆分
任何函数都可以被唯一的拆分成一个奇函数和一个偶函数，即
\[x(t)=x_e(t)+x_o(t)\\ x_e(t)=\frac{1}{2}(x(t)+x(-t))\\ x_o(t)=\frac{1}{2}(x(t)-x(-t)) \]假设有多种被拆分的形式，即 \(x(t)=f_1+g_1=f_2+g_2\) （其中 \(f\) 为奇函数， \(g\) 为偶函数），
那么 \(f_1-f_2=g_2-g_1\)
由于 奇函数 - 奇函数 = 奇函数，等式两边奇偶性相同，则 \(f_1-f_2=g_2-g_1=0\)
含有复数的指数、三角函数
指数函数
即 \(x(t)=e^{j\omega_0 t}\)
周期性：
\[x(t+T)=e^{j\omega_0 t}e^{j\omega_0T}=e^{j\omega_0 t}\\ e^{j\omega_0 T}=1\\ \omega_0T=2k\pi (k=\pm 1, \pm 2,\cdots) \\ T_0=\frac{2\pi}{|\omega_0|} \]三角函数
由于 \(Ae^{j(\omega_0 t+\phi)}=Acos(\omega_0t+\phi)+Ajsin(\omega_0t+\phi)\) ，
\(Acos(\omega_0t+\phi)=\frac{A}{2}e^{j\phi}e^{j\omega_0t}+e^{-j\phi}e^{-j\omega_0t}\)
二者的周期是同步的
两种函数的能量
注意 \(e^{j\omega_0t}\) 是模长为 \(1\) 的复数，所以对于 \(e^{j\omega_0t}\) ，\(E_{period}=\int_0^{T_0}e^{j\omega_0t}dt=\int_0^{T_0}1dt=T_0\)
对于 \(Acos(\omega_0t+\phi)\) ，\(E_{period}=\int_0^{T_0}A^2cos^2(\omega_0t+\phi)dt\)
考虑 和差化积，\(cos^2\alpha=\frac{cos2\alpha + 1}{2}\)
\(E_{period}=\frac{A^2}{2}\int_0^{T_0}(1+cos(2\omega_0t+2\phi))dt=\frac{A^2}{2}T_0\)
指数函数产生的“谐波”
基波频率 \(\omega_0\) ，谐波频率是基波频率的 \(k\) 倍
震荡频率
对于指数函数和三角函数，当频率 \(\omega_0\) 从 \(0\) 到 \(\pi\) 震荡频率增大，从 \(\pi\) 到 \(2\pi\) 震荡频率减小
e.g. \(cos(\pi t)\) 的震荡频率大于 \(cos(\frac{3}{2}\pi t)\)
标签：Chapter,phi,frac,0t,theta,pi,omega From： https://www.cnblogs.com/tonyhgf/p/17745901.html