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强化学习Chapter2——优化目标（2）

上文推导出强化学习的一般性目标，即不做确定性假设下的优化目标，得到了下面两个式子：

\[P(\tau|\pi)=\rho_0(s_0)\prod^{T-1}_{t=0} P(s_{t+1}|s_t,a_t)\pi(a_t|s_t)\\ J(\pi)=\int_\tau P(\tau|\pi)R(\tau)=E_{\tau\sim\pi}[R(\tau)] \]

我们的目标就是学习最优策略：

\[\pi^*=\arg \max_\pi J(\pi) \]

价值函数

上文仅对 \(P(\tau|\pi)\) 做出了详细的推导，但是没有涉及 \(R(\tau)\) 的计算，为了衡量回报，本节将介绍几个相关的价值函数。所谓价值函数，其实只是将价值看成状态 \(s\) 或者动作 \(a\) 等变量的函数罢了，这都是为了便于衡量回报。

1、State-Value Function \(V^{\pi}(s)\)

\[V^{\pi}(s)=E_{\tau\sim\pi}[R(\tau)|s_0=s] \]

显然，这个函数是一个关于状态 \(s\) 的价值函数，可以将其于我们的目标比较，不难看出，只是将初始状态 \(s_0\) 当作一个变量而已。即 \(V^{\pi}(s)\) 的含义是，按照一个固定的策略从 s 状态出发的 trajectories 的回报的期望，将其定义为状态 s 的价值。

2、Action-Value Function \(Q^{\pi}(s,a)\)

\[Q^{\pi}(s,a)=E_{\tau\sim\pi}[R(\tau)|s_0=s,a_0=a] \]

参考状态价值函数，动作价值函数就好理解得多。不过是多添加了一个变量，即初始状态与初始动作，由此可以衡量该动作的价值。容易想到的是，动作价值函数只比状态价值函数多一个变量 \(a_0\)，且是同一变量 \(R(\tau)\) 的期望，因此可以对 V 取期望就能得到 Q。

\[V^\pi(s)=E_{a\sim\pi}[Q^\pi(s,a)] \]

由于等号左边只是 s 的函数，因此需要通过策略来表示等号右边的 a，根据期望的定义可以得出：

\[V^\pi(s)=\sum_{a}\pi(a|s)Q^\pi(s,a) \]

事实上，也可以用 \(V\) 来表示 \(Q\)，这是通过分析单步状态迁移得到的。从某个状态 v，选择动作 a，首先会立即得到一个 Reword（用 \(r(s,a)\) 表示），然后会迁移到下一个状态 \(s'\)。所以 \(Q(s,a)\) 应当等于即时奖励 + 下一状态的 state-value。

\[Q^\pi(s,a)=r(s,a)+\gamma\sum_{s'}P(s'|s,a)V^\pi(s') \]

这里涉及上一节的假设，即给定 \(s\) 和 \(a\) 迁移到下一状态 \(s'\)，这是一个概率事件（为了普适性）。除此之外，这里采用的 Return 定义是带遗忘因子的回报。

状态价值函数 V 与动作价值函数 Q 之间的等式关系，是推导贝尔曼方程的关键所在。

3、Optimal State-Value Function \(V^*(s)\) and Optimal Action-Value Function \(Q^*(s,a)\)

\[V^*=\max_{\pi} E_{\tau\sim\pi}[R(\tau)|s_0=s]\\ Q^*(s,a) = \max_{\pi} E_{\tau\sim\pi}[R(\tau)|s_0=s, a_0=a] \]

这两个式子只是将上面一般形式加上对策略 \(\pi\) 的限制而已。此处的策略，应当是最优策略。但要知道的是，当状态价值或动作价值取最优时，对应的最优策略不唯一，这也是式子中不直接写 \(\pi^*\) 的原因。若考虑这二者之间的关系，则可以得出下面的式子：

\[V^*(s)=\max_a Q^*(s,a) \]

这个式子告诉我们，如果对特定的开始状态 s，若要使其价值最大，则只需选择使 \(Q\) 最大的动作 a 即可（当然可能存在多个），这为我们构建策略提供了方便：

\[a^*(s)=\arg \max_aQ^*(s,a) \]

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