2022新领军一试部分题目及解答

2022新领军一试部分题目及解答 小学渣​ 爱数学的初三菜鸡一枚

前言：本文章仅用于记录作者本人思考的解答，看个乐子就好（初二牲）

1 . (1)求 I_n=\displaystyle\int_{-1}^{1}x^n\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x\;\;\;\;\;\;\; (2)求 \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}I_n

答案：(1) \displaystyle I_n=0 (n为奇数)； \displaystyle I_n=\frac{(n-1)!!}{(n+2)!!}\pi (n为偶数) (2) \displaystyle\frac12\pi

解答：(1)易知 n 为奇数时被积函数是奇函数，因而 I_n=0 . n 为偶数时被积函数为偶函数，因而 \displaystyle I_n=2\int_0^1x^n\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=2\int_0^{\frac\pi2}\sin^n\theta\cos^2\theta\mathrm{d}\theta=2\int_0^{\frac\pi2}\sin^n\theta\mathrm{d}\theta-2\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n+2}\theta\mathrm{d}\theta= \displaystyle2J_n-2J_{n+2}\;\;(J_k:=\int_0^{\frac\pi2}\sin^k\theta\mathrm{d}\theta) , 由 \mathrm {Wallis} 公式知 \displaystyle J_{2m}=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\frac\pi2 , 因而 \displaystyle I_{2m}=\pi(\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}-\frac{(2m+1)!!}{(2m+2)!!})=\frac{(2m-1)!!}{(2m+2)!!}\pi

(2) \displaystyle J_{2n}^2=\pi^2\cdot(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!})^2<\pi^2\cdot\frac{(2n)!}{(2n+1)!}=\frac{\pi^2}{2n+1} , 于是 \displaystyle \lim_{n\to+\infty}J_{2n}=0 , 而部分和 \displaystyle S_n:=\sum_{k=1}^nI_k=2\sum_{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor}(J_{2k}-J_{2k+2})=2J_2-2J_{2\lfloor n/2\rfloor+2} . 故 \displaystyle \lim_{n\to+\infty}S_n=\frac\pi2

2.设 M_2 为全体 2\times2 实数矩阵集合， A\in M_2 且 \det A\neq0,\mathrm{tr} A\neq0 . 则映射 T:M_2\to M_2 , T(X):=AX+XA(\forall X\in M_2) 是否是一一映射？

答案：是

解答：设 A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} , 置 A_0=\begin{bmatrix}2a&c&b&0\\b&a+d&0&b\\c&0&a+d&c\\0&b&c&2d\end{bmatrix} , 容易求得 \det A_0=4\mathrm{tr}^2A\det A\neq0 .因而对于每一个 Y=\begin{bmatrix}x_0&y_0\\z_0&w_0\end{bmatrix} , Y=T(\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}2ax+cy+bz&bx+(a+d)y+bw\\cx+(a+d)z+cw&cy+bz+2dw\end{bmatrix} 当且仅当A_0\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\\w_0\end{pmatrix} . 由 A_0 可逆知 T 是一一的.

3.设 C 是一个行列式为1的 2 阶整数方阵， A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}

4.设有限集合 G 中定义了乘法 \displaystyle\cdot:G\times G\to G , 满足结合律及左右消去律(如下)(1)\forall a,b, c\in G,\;a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\\ (2)\forall a,b,c\in G,\;a\cdot b=a\cdot c\Rightarrow b=c\\ (3)\forall a,b,c\in G,\;b\cdot a=c\cdot a\Rightarrow b=c 求证： G 对其乘法构成群

解答：引理： \forall a,b\in G,\;\exists!c,d,\;\mathrm{s.t.}\;c\cdot a=b,a\cdot d=b .

证明：考虑 Ga:=\{xa\in G\,|a\in G\}\subset G , 由右消去律知 x\neq y 时 xa\neq ya , 因而 |G|=|Ga| , 故存在唯一 c\in G 使得 ca=b , 右边同理，不做赘述.
回到原题，任取 a\in G , 由引理知 \exists!e,f\in G\;\mathrm{s.t.}\;ea=af=a,\;\exists!b,c\in G\;\mathrm{s.t.}\;ba=e,ac=f , 因而 f=a\cdot c=(e\cdot a)\cdot c=e\cdot(a\cdot c)=e\cdot f=(b\cdot a)\cdot f=b\cdot(a\cdot f)=b\cdot a=e , 故 e\cdot e=e .再次由引理知 \forall x\in G,\exists!y,z\in G,\;\mathrm{s.t.}\;e\cdot y=x,z\cdot x=e , 因而 e\cdot x=e\cdot(e\cdot y)=(e\cdot e)\cdot y=e\cdot y=x , 因而 e 为 G 的左幺元， z 为 x 的左逆元，由定义知 G 对乘法构成群

未完待续，有时间再继续写