定义
一般地，对于一个函数 \(f\)，定义它的狄利克雷生成函数（简写为 DGF）为：
\[\tilde{F}(x) = \sum _ {i \ge 1} ^ \infty \dfrac{f_i}{i^x}. \]即：
\[\tilde{F}(x) = f_1 + \dfrac{f_2}{i^2} + \dfrac{f_3}{i^3} + \dfrac{f_4}{i^4} + \cdots.① \]性质
若 \(f\) 是积性函数，则一定满足：
-
\(f_1 = 1\).
-
\(\tilde{F}(x) = \prod \limits _ {p \in \mathbb{P}} \sum \limits _ {k \ge 0} \dfrac{f_{p^k}}{p^{kx}}\).
即：
证明：
因为 ① 中的任意一项，② 中都存在两个多项式的某一项相乘得到。又因为和式无限，所以由 ① 可得到 ②。
常见的积性函数
常函数 1
\(\forall n \in \mathbb{Z}, 1(n) = 1.\)
幂函数（标号函数）
\(\text{id} _ k(n) = n^k.\)
单位元函数
\(\varepsilon(n) = [n = 1].\)
以上三个函数都是完全积性函数。
欧拉函数和莫比乌斯函数
约数幂函数
\(\sigma _ k(n) = \sum \limits _ {d \mid n} d^k.\)
无符号莫比乌斯函数
\(u(n) = |\mu(n)| = \mu^2(n).\)
将莫比乌斯函数作为已知条件，通过分类讨论可知是积性函数。
常见积性函数的 DGF
常函数 1
即序列 \([1, 1, 1, 1, \cdots]\)。代入 ② 可得：
\[\zeta(x) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} (1 + \dfrac{1}{p^x} + \dfrac{1}{p^{2x}} + \dfrac{1}{p^{3x}} + \dfrac{1}{p^{4x}} + \cdots). \]通过等比数列求极限可得：
\[\zeta(x) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} \dfrac{1}{1 - p^{-x}}. \]可以归纳出一个公式：
\[\sum _ {i \ge 0} \dfrac{1}{a^{ix}} = \dfrac{1}{1 - a^{-x}}. ③ \]并且，\(\zeta\) 函数又叫做黎曼函数，它是常函数 \(1\) 的 DGF。
$\ \ \ \ $
以下两段参考了这个
莫比乌斯函数
代入 ② 可得：
\[\tilde{\Mu}(x) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} (1 + \dfrac{\mu(p)}{p^x} + \dfrac{\mu(p^2)}{p^{2x}} + \dfrac{\mu(p^3)}{p^{3x}} + \dfrac{\mu(p^4)}{p^{4x}} + \cdots). \]根据莫比乌斯函数的计算公式可得：
\[\tilde{\Mu}(x) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} (1 + \dfrac{\mu(p)}{p^x}) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} (1 - p^{-x}). \]联系黎曼函数可得：
\[\tilde{\Mu}(x) \times \zeta(x) = 1. \]欧拉函数
代入 ② 可得：
\[\tilde{\Phi}(x) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} (1 + \dfrac{\varphi(p)}{p^x} + \dfrac{\varphi(p^2)}{p^{2x}} + \dfrac{\varphi(p^3)}{p^{3x}} + \dfrac{\varphi(p^4)}{p^{4x}} + \cdots). \]根据欧拉函数的计算公式（可参考链接博客）可得：
\[\tilde{\Phi}(x) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} (1 + \dfrac{p - 1}{p^x} + \dfrac{p \times (p - 1)}{p^{2x}} + \dfrac{p^2 \times (p - 1)}{p^{3x}} + \dfrac{p^3 \times (p - 1)}{p^{4x}} + \cdots). ④ \]考虑求极限化简（这个式子的化简比较抽象，所以我写得细一点）：
设 \(S = \dfrac{1}{p^x} + \dfrac{p}{p^{2x}} + \dfrac{p^2}{p^{3x}} + \dfrac{p^3}{p^{4x}} + \cdots. ⑤\)
这是个等比数列，公比是 \(\dfrac{p}{p^x}.\)
可得：
\[\dfrac{p^x}{p} \times S = \dfrac{p^{-1}}{p^0} + \dfrac{1}{p^x} + \dfrac{p}{p^{2x}} + \dfrac{p^2}{p^{3x}} + \dfrac{p^3}{p^{4x}} + \cdots. ⑥ \]⑥ \(-\) ⑤ 可得：
\[S \times (\dfrac{p^x}{p} - 1) = \dfrac{1}{p}. \]解得：
\[S = \dfrac{1}{p^x - p}. \]将 \(S\) 代入 ④ 可得：
\[\tilde{\Phi}(x) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} (1 + (p - 1) \times S). \]\[= \prod _ {p \in \mathbb{P}} (1 + \dfrac{p - 1}{p^x - p}). \]\[= \prod _ {p \in \mathbb{P}} (\dfrac{p^x - 1}{p^x - p}). \]分子分母同除以 \(p^x\) 可得：
\[= \prod _ {p \in \mathbb{P}} (\dfrac{1 - p^{-x}}{1 - p^{1 - x}}). \]因为 \(\zeta(x) = \dfrac{1}{1 - p^{-x}}\)，所以有：
\[\tilde{\Phi}(x) = \dfrac{\zeta(x - 1)}{\zeta(x)}. \]幂函数（标号函数）
\(\text{id} _ k(x) = x^k\)，代入 ② 可得：
\[\tilde{I_k}(x) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} (1 + \dfrac{p^k}{p^x} + \dfrac{p^{2k}}{p^{2x}} + \dfrac{p^{3k}}{p^{3x}} + \dfrac{p^{4k}}{p^{4x}} + \cdots). \]公比是 \(\dfrac{p^k}{p^x}\)，仿照上面的做法，乱搞可得：
\[\tilde{I_k}(x) = \dfrac{1}{1 - p^{k - x}}. \]换成黎曼函数可得：
\[\tilde{I_k}(x) = \zeta(x - k). \]约数幂函数
\(\sigma _ {k}(x) = \sum \limits _ {d \mid x} d^k.\)
上面有提到过，\(\tilde{S_k}(x) = \tilde{I_k}(x) \times \zeta(x).\)
证明不太会，应该也是代入 ②，先放着。
无符号莫比乌斯函数
\(u(x) = |\mu(x)| = \mu^2(x).\)
代入 ② 可得：
\[\tilde{U}(x) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} (1 + \dfrac{u(p)}{p^x}) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} (1 + p^{-x}). \]由平方差公式可得：
\[\tilde{U}(x) = \prod _ {p \in \mathbb{P}} \dfrac{1 - p^{-2x}}{1 - p^{-x}} = \prod _ {p \in \mathbb{P}} \dfrac{\zeta(x)}{\zeta(2x)}. \]