旋转矩阵

标签：矩阵 旋转 theta 左手 坐标系 向量

目录

• 旋转的表示
• 旋转向量与旋转矩阵之间的变换
  • 旋转向量变成旋转矩阵
  • 旋转矩阵变为旋转向量
• 左右手坐标系确定及其旋转正向

旋转的表示

在三维坐标系中，有三种表达形式

1. 旋转矩阵
   \[ R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix} \]

2. 旋转角
   \[ \theta = \begin{pmatrix} \phi & \theta & \psi \end{pmatrix} \]
   旋转角又称欧拉角，一般情况下旋转角指的是坐标系绕\(x\)轴旋转后，再绕\(y\)轴旋转后，再绕\(z\)轴旋转分别的角度
3. 旋转向量
   \[ r = \begin{pmatrix}r_x & r_y & r_z\end{pmatrix} \\ \theta = norm(r)\]
   刚体绕旋转轴旋转，\(r\)表示的是旋转轴的方向，\(r\)的长度\(norm(r)\)表示刚体绕轴旋转的角度

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旋转向量与旋转矩阵之间的变换

旋转向量与旋转矩阵之间的变换又称为罗德里格斯变换(Rodrigues)

旋转向量变成旋转矩阵

\[ \theta \larr norm(r) \\ r \larr r/\theta \]

\[ R = \cos{\theta{I}} + (1-\cos{\theta})rr^T + \sin{\theta} \begin{bmatrix} 0 & -r_z & r_y \\ r_z & 0 & -r_x \\ -r_y & r_x & 0 \end{bmatrix} \]

旋转矩阵变为旋转向量

\[ \sin{\theta}\begin{bmatrix} 0 & -r_z & r_y \\ r_z & 0 & -r_x \\ -r_y & r_x & 0 \end{bmatrix} = \frac{R-R^T}{2} \]

\[ \theta = \arccos(\frac{tr(R-I)}{2}) \]

左右手坐标系确定及其旋转正向

这两个问题很容易弄混淆，要确定旋转正向必须先确定是左手坐标系还是右手坐标系。

1. 判定坐标系：
   1. 使用左手，大拇指指向Z轴正向，其余四指由X向Y握起。如果可以达成，则为左手坐标系，否则为右手坐标系。
   2. 伸出左手，食指朝上，大拇指向右，中指向前，如果X,Y,Z三轴分别与大拇指，食指，中指同向，则为左手坐标系。否则为右手坐标。
   3. 左手坐标系与右手坐标系的区别仅在：Z轴方向相反。相同点：X向右，Y向上
2. 有了坐标系，判断旋转正向：
   1. 从轴的正方向看向原点，左手坐标系下 ：顺序时针方向即是旋转正向，右手坐标系下：逆时针方向即是旋转正向
   2. 左手坐标，绕Y轴旋转：左手握住Y轴，四指弯曲的方向就是旋转正向，这里就是由Z轴指向X轴。
      若绕Z轴旋转：左手握住Z轴，四指弯曲的方向就是旋转方向，这里是由X轴指向Y轴。

内旋是右乘 外旋是左乘吗

标签：矩阵,旋转,theta,左手,坐标系,向量
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