一、矩阵的定义
对于 \(m×n\) 个数的矩阵 \(a_{i,j},i=[1,m],j=[1,n]\),有 \(m\) 行 \(n\) 列，称为 \(m×n\) 矩阵，这个矩阵排列如下：
\[\left[\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ⋯ & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ⋯ & a_{2,n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m,1} & a_{m,2} & ⋯ & a_{m,n} \\ \end{matrix}\right] \]若一个矩阵 \(A\) 的所有数数均为实数，称 \(A\) 为实矩阵；若 \(A\) 的所有数都为复数，称 \(A\) 为复矩阵。
二、矩阵运算
1.加法运算
若有两个矩阵 \(A,B\)，\(A\) 为 \(m×n\) 个数 \(a_{i,j},i=[1,m],j=[1,n]\) 的矩阵，\(B\) 为 \(y×x\) 个数 \(b_{u,v},u=[1,y],v=[1,x]\) 的矩阵，则
\[A+B=\left[\begin{matrix} a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & ⋯ & a_{1,n} + b_{1,x} \\ a_{2,1} + b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} & ⋯ & a_{2,n} + b_{2,x} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m,1} + b_{y,1} & a_{m,2} + b_{y,2} & ⋯ & a_{m,n} + b_{y,x} \\ \end{matrix}\right] \]运算律：
（1）交换律：若有两个矩阵 \(A,B\)，则 $$A+B=B+A$$
（2）结合律：若有三个矩阵 \(A,B,C\)，则 $$(A+B)+C=A+(B+C)$$
2.减法运算
若有两个矩阵 \(A,B\)，\(A\) 为 \(m×n\) 个数 \(a_{i,j},i=[1,m],j=[1,n]\) 的矩阵，\(B\) 为 \(y×x\) 个数 \(b_{u,v},u=[1,y],v=[1,x]\) 的矩阵，则
\[A+B=\left[\begin{matrix} a_{1,1} - b_{1,1} & a_{1,2} - b_{1,2} & ⋯ & a_{1,n} - b_{1,x} \\ a_{2,1} - b_{2,1} & a_{2,2} - b_{2,2} & ⋯ & a_{2,n} - b_{2,x} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m,1} - b_{y,1} & a_{m,2} - b_{y,2} & ⋯ & a_{m,n} - b_{y,x} \\ \end{matrix}\right] \]3.数乘运算
若有一个矩阵 \(A\) 和一个正整数 \(b\)，\(A\) 为 \(m×n\) 个数 \(a_{i,j},i=[1,m],j=[1,n]\) 的矩阵，则
\[b\cdot A=\left[\begin{matrix} a_{1,1}b & a_{1,2}b & ⋯ & a_{1,n}b\\ a_{2,1}b & a_{2,2}b & ⋯ & a_{2,n}b \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m,1}b & a_{m,2}b & ⋯ & a_{m,n}b\\ \end{matrix}\right] \]数乘的运算律：
（1）若有两个矩阵 \(A,B\) 和数 \(c\)，则 $$c(A+B)=cA+cB$$
（2）若有矩阵 \(A\) 和数 \(b,c\)，则 $$(b+c)A=bA+cA$$
（3）若有矩阵 \(A\) 和数 \(b,c\)，则 $$(bc)A=c(dA)$$
4.乘法运算
若有两个矩阵 \(A,B\)，\(A\) 为 \(m×n\) 个数 \(a_{i,j},i=[1,m],j=[1,n]\) 的矩阵，\(B\) 为 \(y×x\) 个数 \(b_{u,v},u=[1,y],v=[1,x]\) 的矩阵，我们记 \(X=AB\)，则 \(X\) 中的第 \(i\) 行第 \(j\) 列是
\[X_{i,j}=\sum \limits_{k = 1}^{n}a_{i,k}b_{k,j} \]乘法的运算律：
（1）结合律：若有三个矩阵 \(A,B,C\)，则 $$(AB)C=A(BC)$$
（2）分配律：
- 若有三个矩阵 \(A,B,C\)，则 $$(A+B)C=AC+BC$$
- 若有三个矩阵 \(A,B,C\)，则 $$C(A+B)=CA+CB$$