关于 n+1 个点可以唯一确定一个 n 次函数的证明

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设原函数 \(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}{a_ix^i}\)。

定义一个范德蒙矩阵 \(V\) 为:

\[V = \begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{bmatrix} \]

设我们求出的 \(y\) 坐标为 \(Y\)，则

\[\begin{aligned} &V \times a = Y\\ &a = V^{-1} \times Y \end{aligned} \]

即证明 \(V\) 存在逆矩阵 \(V^{-1}\)，也就是 \(\det V \not= 0\)。
又因为 \(\det V = \prod_{1\leq i < j \leq n}{(x_j-x_i)}\)，所以它恒不等于 \(0\)。
证毕。

(至于它的行列式等于那个式子的证明，先咕一会儿。。。)

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