2.0 Introduction
无线信道的一个特性就是信道强度会随着时间和频率而改变，这些变化可以分成两类：大尺度衰落和小尺度衰落
- 大尺度衰落：因为路径损耗和障碍物的遮挡导致，当用户移动距离与小区的大小相当时，会出现大尺度衰落。frequency independent
- 小尺度衰落：主要是因为多径效应和导致的相消干扰，当空间尺度和载波波长相当时，会出现小尺度衰落，frequency dependent
这里我们主要关注小尺度衰落
why?因为大尺度衰落的变化时间相对较慢，而小尺度衰落变化很快
2.1 Physical Modeling for Wireless Channels
建模的目的主要是为了反映信道真实的物理特征，那么需要知道信道的哪些特性/哪些近似是合理的？
2.1.1 Free space,fixed transmitting and receive antennas
场景1：Tx固定Rx固定
当发射天线固定时，在远场条件下电场与磁场相互垂直，且与电波的传播方向垂直，因此只要考虑其一；对于发射信号\(\cos2\pi f t\)的电场响应表示如下：
\[E(f,t,(r,\theta,\phi))=\frac{\alpha_s(\theta,\phi,f)\cos2\pi f(t-\frac{r}{c})}{r} \]其中\((r,\theta,\phi)\)表示空间中某个测量点，如果在\(\mathbf{u}=(r,\theta,\phi)\)处有一个接收天线，则接收的电场强度为：
\[E_r(f,t,(r,\theta,\phi))=\frac{\alpha(\theta,\phi,f)\cos2\pi f(t-\frac{r}{c})}{r} \]其中\(\alpha(\theta,\phi,f)\)表示发射天线与接收天线的方向图乘积； 定义系统函数为
\[H(f):=\frac{\alpha(\theta,\phi,f)e^{-j2\pi fr/c}}{r} \]其中，\(E_r=\mathcal{Re}\{H(f)e^{j2\pi ft}\}\)，而\(H(f)\)的逆傅里叶变换即使系统的冲击响应；
上述的系统是线性时不变(LTI)的，线性对于所有的无线信道而言都是合适的假设，但是当天线或是障碍物移动时，时不变特性并不能成立。
静止单径的系统仅有幅度上的衰减和相位上的延迟
2.1.2 Free space, moving antenna
场景2：Tx固定Rx移动
Tx固定，Rx以v的速度远离Tx移动，则Rx的位置\(\mathbf{u}(t)=(r(t),\theta,\phi)\)，其中\(r(t)=r_0+vt\)
接收到的信号为：
\[E_r(f,t,(r_0+vt,\theta,\phi))=\frac{\alpha(\theta,\phi,f)\cos(2\pi f(t-\frac{r_0+vt}{c}))}{r_0+vt}\\ =\frac{\alpha(\theta,\phi,f)\cos(2\pi f((1-\frac{v}{c})t-\frac{r_0}{c}))}{r_0+vt} \]可以看出该系统不是线性时不变LTI的系统了，而是时变的；若是忽略了分母的时变，看作近似恒定的衰落（事实上也可以这样做，因为相较而言，移动引起的变化时间较长）
用户移动引起了多普勒频偏
2.1.3 Reflecting wall, fixed antenna
如果用墙来模拟障碍物对电磁波的反射，假设如上的一个场景：静止天线Tx和Rx，Rx可以收到两个信号，一个是直达经的信号，另一个是经过墙面反射的信号；
\[E_r(f,t)=\frac{\alpha\cos(2\pi f(t-\frac{r}{c}))}{r}-\frac{\alpha\cos2\pi f(t-\frac{2d-r}{c})}{2d-r} \]其相位差可以表示为：
\[\Delta\theta=\left(\frac{2\pi f(2d-r)}{c}+\pi\right)-\left(\frac{2\pi fr}{c}\right)=\frac{4\pi f}{c}(d-r)+\pi \]显然，当相位差为\(\pi\)的偶数倍时，两个信号正向叠加，反之相消，因此在空间上呈现出有波峰和波谷的效果。
- 固定频率
定义相干距离（coherence distance）：
\[\Delta x_c=\frac{\lambda}{4} \]表示信号波峰和波谷之间的距离
- 若固定距离，改变频率，那么从信号波峰到波谷之间的距离为：
定义时延扩展（delay spread）：
\[T_d=\frac{2d-r}{c}-\frac{r}{c} \]表示两条路径的时延差，定义相干带宽\(W_c=1/T_d\)，当信号频率变化大于相干带宽时，会有从波峰到波谷的变化（这也说明了宽带信号会有频率不平坦的现象）
在空间上有信号强度的变化，也就等效于波长不同增益不同，即频率不平坦？
多径效应造成！
2.1.4 Reflecting wall, moving antenna
这个情况是上述2种情况的综合，即移动+散射体造成多径：
-
直达电波的频率是\(f(1-\frac{v}c)\)，即具有\(D_1:=-fv/c\)的多普勒频移。
-
反射电波的频率是\(f(1+\frac{v}c)\)，即具有\(D_2:=+fv/c\)的多普勒频移。
定义多普勒扩展(Doppler spread)为：
\[D_s:=D_2-D_1 \]当Rx接近墙体时，Doppler spread的效果更明显，此时分母中的衰减近似认为一致：
\[E_r(f,t)\approx\frac{2\alpha\sin2\pi f[\frac{v}{c}t+\frac{r_0-d}{c}]\sin2\pi f(t-\frac{d}{c})}{r_0+vt} \]
包络的频率是\(fv/c=D_s/2\)，内部信号的频率还是\(f\).
从直观上理解这种现象：
- 当用户静止且有反射时，因为信号的叠加在空间上会出现波峰和波谷or在频域上会有不平坦的现象(空间和频域的互换？
- 当用户移动且无反射时，仅仅会出现频率的偏移
- 两种情况结合时，当用户移动会在空间上经历波峰和波谷，频率的偏移仅仅影响的是包络的变化。
四种情况下的频谱图像
其他影响
地面波的反射也会造成较大的影响，当天线之间距离较大时，直达径和反射径的路程相差不大，但是因为反射造成相位相差\(\pi\)，反射波和直达电波正好会相消。
正常来讲功率的衰落应该是和\(r^{-2}\)成正比的，但是考虑到障碍物对电磁波的吸收，当距离较大时，衰落往往成指数级衰减
2.2 Input/Output Model of the Wireless Channel
- 多径效应可以建模成一个线性时变的系统
- 给出基带表示
- 采样给出离散表示
2.2.1 The Wireless Channel as a Linear Time-Varying System
若是假定衰减\(\alpha_i(f,t)\)和时延\(\tau_i(f,t)\)与频率无关（对于窄带信号可以这样假设）
那么可以利用叠加性原理得到对于任意输入的输出响应：
值得注意的是，虽然单一路径的时延和衰减是和频率无关的，但是多个路径叠加在一起，实际上得到的响应还是和频率相关的。
因为信道是线性的，也可以用信道的冲激响应来表示系统：
\[y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau,t)x(t-\tau)d\tau \]易得，多径衰落的信道冲激响应为：
\[h(\tau,t)=\sum_i\alpha_i(t)\delta(\tau-\tau_i(t)) \]相应的能得到一个时变的频率响应：
\[H(f;t)=\int_{-\infty}^\infty h(\tau,t)e^{-j2\pi f\tau}d\tau=\sum_i\alpha_i(t)e^{-j2\pi f\tau_i(t)} \]intro 关于复信号
实际信号不存在复信号，只存在实信号，引入复信号的原因是什么？
首先看一下实信号的频谱：
\[F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\\ =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos\omega tdt-j\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin\omega tdt\\ =R(\omega)+jX(\omega)=|F(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)} \]实部和虚部分别有：
\[R(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos\omega tdt\\ X(\omega)=-\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin\omega tdt \]若\(f(t)\)是实函数，那么实部是偶函数，虚部是奇函数，幅度是偶函数，相位是奇函数；
即频谱具有共轭对称性：
实信号具有共轭对称的频谱，从信息的角度来看，其负频谱部分是冗余的，因此为了信号处理方便，去掉频域的负半平面，只保留正频谱部分的信号，其频谱不存在共轭对称性，这样产生的频谱所对应的时域信号就是一个复信号，这个复信号称为解析信号或预包络。
- 负频率只有数学上的意义，并不实际占用带宽，但是基带信号调制到高频之后，形成了关于Wc的对称频谱，原来的负频率信号就占用了实实在在的频率资源。
- 如果一个实信号的单边频带宽w，考虑到负频率频谱，实际占的频谱区域就是±w，所以通信中传输这样的信号就需要占用2w的频带宽度。
解析信号
\[\bar{x}(t)=x(t)+j\hat{x}(t)\\ \]其中\(\hat{x}(t)\)，表示\(x(t)\)的Hilbert变换。
将实信号变换为解析信号就是将一个二维信号变成了三维复平面上的信号，复平面向量的模和相角代表了信号的幅度和相位
2.2.2 Baseband Equivalent Model
虽然信号传输在载带，但是大多数的信号处理都发生在基带，因此定义基带等效来方便地描述
- 注意的一点是，这里的载带信号可能已经是解析信号了
假设实信号\(s(t)\)的傅里叶变换为\(S(f)\)，带宽限制在\([f_c-W/2,f_c+W/2]\)，定义其复基带等效信号\(s_b(t)\)，其傅里叶变换如下：
\[S_b(f)=\left\{ \begin{array}[lll] &\sqrt{2}S(f+f_c)&f+f_c>0\\ 0&f+f_c\leq0 \end{array} \right. \]这里求基带等效并不是做求解析信号的逆过程，而是将载带信号搬移回基带，方便后续做分析。信号的频谱显然不具备共轭对称性，因此一般是复信号。
若要重构passband signal
\[\sqrt{2}S(f)=S_b(f-f_c)+S^*(-f-fc) \](因为是实信号，所以要构造成共轭对称的)，进行IFT后得到时域表示
\[s(t)=\frac{1}{\sqrt 2}\{s_b(t)e^{j2\pi f_ct}+s_b^*(t)e^{-j2\pi f_ct}\}=\sqrt{2}\mathcal{Re}\{s_b(t)e^{j2\pi f_ct}\} \]对应的，假设接到的信号\(y(t)\)，其基带等效信号为\(y_b(t)\)，则有\(y(t)=\sqrt{2}\mathcal{Re}\{y_b(t)e^{j2\pi f_ct}\}\)
可以推出：
\[\begin{align} y(t)&=\sum_i\alpha_i(t) x(t-\tau_i(t))\\ \mathcal{Re}\{y_b(t)e^{j2\pi f_ct}\}&=\sum_i\alpha_i(t)\mathcal{Re}\{x_b(t-\tau_i(t))e^{j2\pi f_c(t-\tau_i(t)}\}\\ &=\mathcal{Re}\{(\sum_i\alpha_i(t)x_b(t-\tau_i(t))e^{-j2\pi f_c\tau_i(t)})e^{j2\pi f_ct}\} \end{align} \]类似地，虚部也可以写成上述形式，因此有：
\[y_b(t)=\sum_i\alpha_i^b(t)x_b(t-\tau_i(t));\\ \alpha_i^b(t):=\alpha_i(t)e^{-j2\pi f_c\tau_i(t)} \]对于上述的线性时变系统，其基带等效信道冲激响应为：
\[h_b(\tau,t)=\sum_i\alpha_i^b(t)\delta(\tau-\tau_i(t)). \]对于上述的时变信道，我们可以做一个简单的分析：
- 信道的响应实际上是多条路径的叠加
- 对于某一个路径，其幅度变化实际上是较为缓慢的；
- 因为多普勒效应造成的相位变化是相对较快的，大概\(1/4D\) i.e.（\(c/4f_c\)）可以改变\(\pi/4\)的相位
2.2.3 A Discrete Time Baseband Model
一般来说实际的基带信号都是离散信号+成形滤波器构成，理想情况下用sinc函数来做成形滤波器，实际中可以用升余弦滚降滤波器等；
假设\(x(t)\)带宽限制为W，则基带等效带宽W/2 (根据奈奎斯特采样定理，带宽为W/2的信号可以被正交基 \(\{sinc(Wt-n)\}_n\)分解，采样间隔1/W)
其中
\[sinc(t):=\frac{\sin\pi t}{\pi t} \]接收端收到的基带等效信号为：
\[y_b(t)=\sum_nx[n]\sum_i\alpha_i^b(t)sinc(Wt-W\tau_i(t)-n) \]也进行离散化\(y[m]=y_b(m/W)\)：
\[\begin{align} y[m]&=\sum_nx[n]\sum_i\alpha_i^b(m/W)sinc(m-n-W\tau_i(m/W))\\ &=\sum_lx[m-l]\sum_i\alpha_i^b(m/W)sinc(l-W\tau_i(m/W)) \end{align} \]其中\(l:=m-n\)，定义信道响应为：
\[h_l[m]=\sum_i\alpha_i^b(m/W)sinc(l-W\tau_i(m/W)) \]于是系统方程可以简化为：
\[y[m]=\sum_lh_l[m]x[m-l]. \]其中l表示第l个抽头
关于抽头的理解
抽头的出现实际上是因为采样or离散化的结果，对于带宽有限的系统，其对于延时的分辨率也是受限的。如上图所示，假设信号经过四条路经到达接收机，其延时各不相同，因为接收机以W的频率采样，因此\([\frac{l}{W}-\frac{1}{2W},\frac{l}{W}+\frac{1}{2W}]\)之间到达的信号会无法分辨，被看作一个抽头。
这样就会导致衰落的产生，当同一个tap内的多径叠加后，会产生相长和相消的效应。
如果1/W足够大，即所有的多径都被看作在一个tap里，那么仅含有一个抽头，该信道被称作平坦衰落信道(flat fading channel),否则将被称作频率选择信道(frequency selected channel)
2.3 Time and Frequency Coherence
2.3.1 Doppler Spread and Coherence Time
在移动通信中，信道往往是时变的，一个很重要的指标是信道变化的时间尺度(or 信道变化的快慢)。
信道的抽头可以表示成
\[h_l[m]=\sum_i\alpha_i^b(m/W)sinc(l-W\tau_i(m/W))\\ =\sum_i\alpha_i(m/W)e^{-j2\pi f_c\tau_i(m/W)}sinc(l-W\tau_i(m/W)) \]
我们想知道\(h_l[m]\)随时间变化的情况，实际上就是想知道各个向量\(\alpha_i(m/W)e^{-j2\pi f_c\tau_i(m/W)}\)的变化，这种变化可能有三种情况导致：
- \(\alpha_i(t)\)由于路径损耗带来的衰落变化，这种变化一般是很慢的，一般是s级
- 当同一个tap内的不同路径的信号，相位变化速度不同时，合成的向量幅度也会出现变化。而相位的变化是和多普勒频偏有关的。典型值一般是ms级
- 一条路径的信号变化到了另一个tap，\(\tau_i(t)\)需要改变\(\frac{1}{W}\)才会使得一条路径的信号改变到另一个tap中。
因此，这种变化主要还是由于相位变化导致(多普勒频偏导致)，不同的路径有不同的多普勒频偏，定义多普勒扩展(Doppler spread)\(D_s\)
\[D_s:=\max_{i,j}f_c|\tau'_i(t)-\tau'_j(t)| \]其中\(\tau'_i(t)\)为doppler shift：\(\tau'_i(t)=f_c\frac{v}{c}\cos\theta\)
直观上来讲，多普勒扩展描述的是相位变化最快的路径和相位变化最慢的路径的相位变化速度差，(\(\cos(2\pi f_c t-2\pi f_c\frac{v}{c}t-\phi_i)\),引起相位变化差异的量是doppler shift)。
定义相干时间：表示\(h_l[m]\)出现重大变化的时间间隔：
\[T_c:=\frac{1}{4D_s} \]这一式子是不精确的，分母中的4可以替换为8or1；
有无可能某条路径时延持续变化，扩展到另一个抽头中去了？
当然是可能发生的，但是这种变化的时间尺度要远远大于多普勒扩展导致的变化：
从一个抽头变化到另一个抽头需要的延迟时间为1/W,如认为带宽为1.25MHz
那么相位变化导致的信道变化的时间间隔正比于\(1/f_c\)，以900MHz载波为例，\(\frac{1}{W}>>\frac{1}{f_c}\)
除非是超宽带系统（W和f_c近似在一个数量级）
两个定义：
- 快衰落信道：相干时间小于需要的时延，即一组码元可以经历不同衰落的信道，可以利用分集来提高容量
- 慢衰落信道：相干时间大于需要的时延；
2.3.2 Delay Spread and Coherence Bandwidth
无线系统中另一个重要的通用参数是多径时延扩展\(T_d\)
\[T_d:=\max_{i,j}|\tau_i(t)-\tau_j(t)| \]描述的是多径时延的范围，如果一个校区的范围是几公里或者更小，那么多径的路程差可能是300m-600m，对应大概1us-2us的时延差。
直观上来讲可以认为是最早到达的路径和最晚到达的路径的时延差。
一般来讲\(T_d<T_c\)，这种信道被称作欠扩展信道，对于一个非LTI的系统，可以在相干时间内将其看作LTI的系统，显然在一个\(T_d\)内，可以将信道看作近似不变的，因为\(T_c>>T_d\)
另一个变量是相干带宽：
\[H(f;t)=\sum_i\alpha_i(t)e^{-j2\pi f\tau_i(t)} \]对于不同的路径，也有着不同的时延差，这种时延差体现在相位变化上，也就是说对于接收的信号强度，不仅仅随着时间变化（每\(1/4D\)），也会随着频率变化（每\(1/2T_d\)）。因此定义相干带宽为：
\[W_c=\frac{1}{2T_d} \]When the bandwidth of the input is considerably less than Wc, the channel is usually referred to as flat fading. In this case, the delay spread Td is much less than the symbol time 1/W, and a single channel filter tap is sufficient to represent the channel.When the bandwidth is much larger than Wc, the channel is said to be frequency-selective, and it has to be represented by multiple taps. Note that flat or frequency-selective fading is not a property of the channel alone, but of the relationship between the bandwidth W and the coherence bandwidth Td
下表给出一些量的典型值：
- fast fading:\(T_c<<\)delay requirement:一组码元可以经历多个衰落（可以利用分集提升效率
- slow fading：\(T_c>>\) delay requirement
- flat fading: \(W<<W_c\)：把所有多径都看作一个tap了
- frequency-selective fading: \(W>>W_c\)
- underspread:\(T_d<<T_c\):非LTI系统在\(T_c\)内可以看作LTI系统
2.4 Statistical Channel Models
Rayleigh model
我们期望得到一个更通用的信道模型，而非固定的几个抽头的模型；基于如下假设：大量散射题造成多径效应，每条路径都有随机的相位和幅度；
对于没有LoS径的情况，可以认为每个抽头都是服从圆对称复高斯分布的：\(\mathcal{N}(0,\frac{1}{2})+j\mathcal{N}(0,\frac{1}{2}):=\mathcal{CN}(0,1)\)
抽头\(|h_l[m]|\)的幅度是服从Rayleigh分布的，PDF为：
\[\frac{x}{\sigma_l^2}\exp(\frac{-x^2}{2\sigma_l^2}) \]抽头的能量\(|h_l[m]|^2\)服从指数分布。
Rician model
有LoS的模型为Rician model
\[h_l[m]=\sqrt{\frac{\kappa}{\kappa+1}}\sigma_le^{j\theta}+\sqrt{\frac{1}{\kappa+1}}\mathcal{CN}(0,\sigma_l^2) \]