一．“四心”的定义

(1) 重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；

(2) 垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；

(3) 内心：三条角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

(4) 外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

二.“四心”的重要结论

重心

\(1.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若 \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0\)，则 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 的重心

\(2.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若 \(S_{\Delta OAB} = S_{\Delta OAC} = S_{\Delta OBC} = \frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\)，则 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 的重心

\(3.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若动点 \(P\) 满足
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),\lambda \in (0,+\infty )\)，则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\Delta ABC\) 的重心

\(4.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若动点 \(P\) 满足
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda (\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}),\lambda \in (0,+\infty )\)，则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\Delta ABC\) 的重心

\(5.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若动点 \(P\) 满足
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda (\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|sinB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|sinC}),\lambda \in (0,+\infty )\)，则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\Delta ABC\) 的重心

垂心

\(1.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若 \(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} =\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}\)，则 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 的垂心

\(2.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若 \(\left | \overrightarrow{OA} \right | ^ 2 + \left | \overrightarrow{BC} \right | ^ 2 = \left | \overrightarrow{OB} \right | ^ 2 + \left | \overrightarrow{AC} \right | ^ 2 = \left | \overrightarrow{OC} \right | ^ 2 + \left | \overrightarrow{AB} \right | ^ 2\)，则 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 的垂心

\(3.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若动点 \(P\) 满足
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda (\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|cosC}),\lambda \in (0,+\infty )\)，则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\Delta ABC\) 的垂心

内心

\(1.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若动点 \(P\) 满足
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda (\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}),\lambda \in (0,+\infty )\)，则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\Delta ABC\) 的内心

\(2.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若动点 \(P\) 满足
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda (\frac{\overrightarrow{AB}}{sinC}+\frac{\overrightarrow{AC}}{sinB}),\lambda \in (0,+\infty )\)，则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\Delta ABC\) 的内心

\(3.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，\(a,b,c\) 为 \(\Delta ABC\) 的三边的边长，若 \(a\cdot \overrightarrow{OA} + b\cdot \overrightarrow{OB} + c\cdot \overrightarrow{OC} = 0\)，则 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 的内心

外心

\(1.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若 \(\left | \overrightarrow{OA} \right | = \left | \overrightarrow{OB} \right | = \left | \overrightarrow{OC} \right |\)，则 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 的外心

\(2.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若 \((\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\cdot \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})\cdot \overrightarrow{CA}\)，则 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 的外心

\(3.\) 已知 \(O\) 是 \(\Delta ABC\) 所在平面上的一点，若动点 \(P\) 满足
\(\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2}+\lambda (\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|cosC}),\lambda \in (0,+\infty )\)，则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\Delta ABC\) 的外心

\(4.\)