标签:dots frac 多维奇 证明 等式 归纳法 成立 吉米
习题集1
第一章:分析引论
1.实数
【1】证明\(1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2\)
\[证明:当n=1时,等式1=1\times\frac{1+1}2=1,成立\\
设当n=k时,等式成立,则1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}2\\
则对于n=k+1,1+2+\dots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}2+k+1=\frac{(k+2)(k+1)}2,等式成立\\
数学归纳法可知,1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2
\]
【2】证明\(1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\)
\[证明:当n=1时,等式1=\frac{1\times(1+1)\times(1\times2+1)}6=1,成立\\
设当n=k时,等式成立则1^2+2^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}6\\
则对于n=k+1,1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}6+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}6,等式成立\\
数学归纳法可知,1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6
\]
【3】证明\(1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2\)
\[证明:当n=1时,等式1^3=1^2=1,等式成立\\
设当n=k时,等式成立则1^3+2^3+\dots+k^3=(1+2+\dots+k)^3\\
当n=k+1,1^3+2^3+\dots+k^3+(k+1)^3=(1+2+\dots+k)^2+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}4+(k+1)^3=\frac{(k^2+4k+4)(k+1)^2}4=\frac{(k+2)^2(k+1)^2}4=[1+2+\dots+k+(k+1)]^2,等式成立\\
数学归纳法可知,1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2
\]
【4】证明\(1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n-1\)
\[证明:当n=$时,1=2-1=1,等式成立\\
设n=k时,等式成立则1+2+4+\dots+2^{k-1}=2^k-1\\
当n=k+1时,1+2+4+\dots+2^{k-1}+2^k=2^k-1+2^k=2^{k+1}-1,等式成立\\
数学归纳法可知,1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n-1
\]
【5】证明
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成立,
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