标签：dots frac 多维奇 证明 等式 归纳法 成立 吉米

习题集1

第一章：分析引论

1.实数

【1】证明\(1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2\)

\[证明：当n=1时，等式1=1\times\frac{1+1}2=1，成立\\ 设当n=k时，等式成立，则1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}2\\ 则对于n=k+1,1+2+\dots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}2+k+1=\frac{(k+2)(k+1)}2，等式成立\\ 数学归纳法可知，1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2 \]

【2】证明\(1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\)

\[证明：当n=1时，等式1=\frac{1\times(1+1)\times(1\times2+1)}6=1,成立\\ 设当n=k时，等式成立则1^2+2^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}6\\ 则对于n=k+1，1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}6+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}6，等式成立\\ 数学归纳法可知，1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6 \]

【3】证明\(1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2\)

\[证明：当n=1时，等式1^3=1^2=1，等式成立\\ 设当n=k时，等式成立则1^3+2^3+\dots+k^3=(1+2+\dots+k)^3\\ 当n=k+1，1^3+2^3+\dots+k^3+(k+1)^3=(1+2+\dots+k)^2+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}4+(k+1)^3=\frac{(k^2+4k+4)(k+1)^2}4=\frac{(k+2)^2(k+1)^2}4=[1+2+\dots+k+(k+1)]^2，等式成立\\ 数学归纳法可知，1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2 \]

【4】证明\(1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n-1\)

\[证明：当n=$时，1=2-1=1，等式成立\\ 设n=k时，等式成立则1+2+4+\dots+2^{k-1}=2^k-1\\ 当n=k+1时，1+2+4+\dots+2^{k-1}+2^k=2^k-1+2^k=2^{k+1}-1，等式成立\\ 数学归纳法可知，1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n-1 \]

【5】证明

标签：dots,frac,多维奇,证明,等式,归纳法,成立,吉米
From： https://www.cnblogs.com/dzrblog/p/17539465.html