高数计算【合集】

极限计算

$第一步:先看x \rightarrow value确定类型$ $7种未定型: \frac{\infty}{\infty},\frac{0}{0},1^{\infty},0^{\infty},\infty^0,0^0,\infty-\infty$

$原则：\frac{f(x)}{x^k},k已知上下同阶，k未知泰勒展开到无法抵消$

$定义证明求f'(x_0),f''(x_0)等用泰勒展开：f(x)=f'(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)+\cdots+o(x^n)$

$1.$ $等价代换: t=\frac{1}{x}$ $非零因子(包括L'过程中每次检查能否提出)$ $有理化(分子分母同乘除其他或x^n [去除根号 或 凑等价无穷小]) \~$

$(x^x)'x=(e^{xlnx})'x=e^{xlnx}(lnx+1)=x^x(lnx+1)\~\~$ $2.$ $极限类型1^\infty=e^A \~$ $计算题没有1：\~$ $\lim\limits{x \to □}f(x)^{g(x)}=\lim\limits{x \to □}(1+(f(x)-1))^{g(x)}\~$ $A=\lim\limits_{x \to □}(f(x)-1)g(x)\~$ $原极限=e^A=e^{\lim\limits_{x \to □}(f(x)-1)g(x)}\~\~$ $3.$ $系数a相同，极限类型1^\infty则:\~$ $\lim\limits_{x\to \infty}(\frac{ax+b}{ax+c})^{hx+k}=e^{\frac{(b-c)h}{a}}\~$ $看到极限次幂大小为\infty，基本确定为1^\infty型$

$出现e^{\frac{1}{x}}或|x|因子考虑左右极限$

$\~\~ 扩技巧：\~
arctanx+arctan\frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2} \quad(x<0)[证明f'(x)=0,说明f(x)=c,带入0得\frac{\pi}{2},x \in \small{R}~]\ arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}\quad (x>0) \~ arctanx+arccotx=\frac{\pi}{2}\~ arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2} \rightarrow arcsinx - \frac{\pi}{2}=-arccosx \~$

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty 或0} 为数列极限【不连续】此时不能L'，也不能Taylor，若要使用则需先令x=n转换为函数极限$ $\~\~\~\ 易错或典例 \~ \lim\limits_{x \to \infty} xsinx=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}sin\frac{1}{x}~极限不存在 \~\ 1-\sqrt{1+x} = 1-(1+\frac{1}{2}x+o(x)) \sim -\frac{1}{2}x \~$ $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{2^x}极限不存在，\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{2^x} (不存在)\neq \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{2^x}(值为0)\~$

$左极限\ne 右极限：e^x, arctanx \ \lim\limits_{x \to +\infty}e^x=+\infty,\lim\limits_{x \to -\infty}e^x=0 \ \lim\limits_{x \to +\infty}arctanx=\frac{\pi}{2} ,\lim\limits_{x \to -\infty}arctanx=-\frac{\pi}{2} \~$

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x+cosx}{x+sinx}不能L'(不是L'的类型：不是 \frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty})$

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x-sinx}{x+sinx}不能L'(求导后极限不存在),上下同除x，得极限为1\~$ $\lim\limits_{x \to \infty} x^2-ln(1+\frac{1}{x}) 类型为\infty-\infty,看到\frac{1}{x}固定倒代换t=\frac{1}{x}\~$

$拆分：+1-1,+x-x,+\sqrt{cosx}-\sqrt{cosx},拆分成两部分求极限\~$

$数列极限\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n-lnn}{n+lnn})^\frac{n}{lnn}=\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1-\frac{lnn}{n}}{1+ \frac{lnn}{n}})^\frac{n}{lnn}=1, 只要次幂部分为\infty，可判断为1^\infty \~\~$

$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}~需t=\frac{1}{x}替换后才可以使用泰勒公式\~ 原式=\lim\limits_{t \to 0^+} (\frac{1}{t^6}+\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}-(\frac{1}{t^6}-\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\lim\limits_{t \to 0^+}=\lim\limits_{t \to 0^+} \frac{\frac{1}{3}t+o(t)}{t}=\frac{1}{3} \small(偶数次幂0^+[非重点,写t \to 0也行]【T的使用前提】)$ $此题也可直接等价无穷小：原式=\lim\limits_{t \to 0^+} (\frac{1}{t^6}+\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}-(\frac{1}{t^6}-\frac{1}{t^5})^\frac{1}{6}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-1+1-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{(1+t)^\frac{1}{6}-1}{t}+\lim\limits_{t \to 0^+}\frac{1-(1-t)^\frac{1}{6}}{t}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}~负负得正\~$

$a^x \sim a^xlna类似e^x的泰勒公式，但是一般不用，而是用L'(看条件)$

$\lim\limits_{x \to 0}sinx(sinx)=\lim\limits_{x \to 0}sinx-\frac{1}{6}sin^3x... =\lim\limits_{x \to 0}(x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3))-\frac{1}{6}(x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3))^3+o(x^3) \~ =\lim\limits_{x \to 0}x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$

$\lim\limits_{x \to 0}tan(tanx)=\lim\limits_{x \to 0}tanx+\frac{1}{3}tan^3x+... =\lim\limits_{x \to 0}(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3))+\frac{1}{3}(x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3))^3+o(x^3) \~ =x+\frac{2}{3}x^3+o(x^3)$

$推出：tan(tanx)-sinx(sinx)=x^3+o(x^3)$

$另一种做法:\lim\limits_{x \to 0}tan(tanx)-sinx(sinx)=\lim\limits_{x \to 0}(tan(tanx)-tanx)+(tanx-sinx)+(sinx-sinx(sinx)) \~ =\lim\limits_{x \to 0}(\frac{1}{3}x^3+o(x^3))+(\frac{1}{2}x^3+o(x^3))+(\frac{1}{6}x^3+o(x^3))=\lim\limits_{x \to 0}x^3+o(x^3)$

$\lim\limits_{x \to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}的(1+x)^{\frac{1}{x}}部分不能用e等价替换，(在同一极限下，不能分次求极限)$ $[正解-幂指化]=\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}-e}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}-e}{x} [用公式e^{f(x)}-e^{g(x)},提取e^{g(x)}]~\=e \lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{(\frac{1}{x}ln(1+x)-1)}-1}{x}=e \lim\limits_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}ln(1+x)-1}{x} [Taylor] =e\lim\limits_{x \to 0}\frac{ln(1+x)-x}{x^2}= e\lim\limits_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2}=-\frac{1}{2}e \~$

$\lim\limits_{x \to +\infty}(\frac{2}{\pi}arctanx-1)x=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{2}{\pi}(arctanx-\frac{\pi}{2})x=\frac{2}{\pi}\lim\limits_{x \to +\infty}(-arctan\frac{1}{x})x[记技巧]=-\frac{2}{\pi}\~$

$\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2})^n= \lim\limits_{x \to \infty}(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})^x [函数极限才可泰特] \由1^\infty=e^A，A= \lim\limits_{x \to \infty}(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2}-1)x=不能[~\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{(1+a-1)^{\frac{1}{x}}+(1+b-1)^{\frac{1}{x}}-2}{2})x~~(a-1,b-1不能确定无穷小，不能T，用L')] \ 正解：[令t=\frac{1}{x}]=\lim\limits_{t \to 0}\frac{a^t+b^t-2}{2t}=[L']\lim\limits_{t \to 0}\frac{a^tlna+b^tlnb}{2}=\frac{lnab}{2}=\frac{1}{2}lnab=ln \sqrt{ab} \原式=e^A=e^{ln \sqrt{ab}}= \sqrt{ab} \~$

$[补充]变型\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x^2+x}-x=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2+x}-x}{(\sqrt{x^2+x}+x)}=\large\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\frac{1}{2}$

$注意极限中偶次方根：\lim\limits_{x \to -\infty}\sqrt{x^2+x}-x=\large\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{x}{(\red{-x})\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\infty~~\small极限不存在$

$[新补充]\lim\limits_{x \to \infty}\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$

$\~\~\~$

$总结： \~\~ 7种未定型解法： \~ 1^\infty =e^A=e^{\lim \limits_{x \to □}f(x)} \~ *0\infty~把求导更难的放分子，其余放分母，再L' \~ \frac{0}{0} ~用L',T,每次L'前确定类型,再有理化或无穷小替换或提出非零因子\~ \frac{\infty}{\infty}~用L',T,\mathbf{}看最高次系数，抓大 \~ \infty-\infty通分，\frac{1}{x}倒代换t \~ 0^0，\infty^0用e^{ln指数化} \~ 无穷小量*有界量=0 \~ \~ 区分左右极限： \~ ①如e^x要分左右极限分别计算 ~~\small(图像左极限!=右极限)\~ ②分段函数[x] \~$

求导计算

$1.利用导数定义求导:$

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \~$ $复杂求导配合非零因子带入,拆分\~$ $变型f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x} \~$ $当x-x_0=\Delta x 无穷小时,导数值近似等于x=x_0处的斜率$

$扩：\frac{0}{0}型极限，但没有说在x=x_0的去心领域内可导，只说在x=x_0这个点可导，\~ 不能用L',只能用导数定义求极限(导数定义公式本身就是求极限)$ $反之没有说只在x=x_0这个点可导，可L',注意复合函数求导$

$分段函数求导:分段点只能用导数定义，分段区间用求导法则$

$|x|在x=0连续但不可导(图像连续但不光滑) \~ f'-(0)=-1,f'+(0)=1,f'-(0)\ne-1,f'+(0)即|x|在x=0不可导$ ` $2.复合函数 \~ f(u),u=f(z),z=f(x) \to (f(u))'=f'(u)u'_zz'_x=f'(u)[f'(z)[f'(x)]] \~ 判断复合：比如sin\frac{1}{x},基本求导公式只学过sinx，没有sin\frac{1}{x}，说明其为复合函数，用复合函数求导$

$ln \sqrt\frac{1-x}{1+x^2}=\frac{1}{2}[ln (1-x)-ln(1+x^2)]$

$ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})=\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$ $积分：\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=ln(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})+c$

$\~\~\
f嵌套~u(v),v(y),y(x), 复合求导f'=u'_v[v'_y(y'_x)]~~(注意内层整体顺序)\~$

$隐函数求导: \~$

$由方程F(x,y)=0,确定y=y(x)函数，求\frac{dy}{dx} \~\ 方法1：两边同时对x求导，把y看成x的函数 \~$ $如~y^2=2yy'$

$参数方程求导： \ 一阶y'= \frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)} \ y''=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(y')}{dx}=\frac{d(y')}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{y'(t)}{x'(t)})'_t\frac{1}{x'(t)} \~\ (其中倒数计算 \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{x'(t)}) \~$

$例: \~ 1.一阶求y' \ \begin{cases} x=sint \ y=cos2t \end{cases} \~$ $y'=\frac{(cos2t)'_t}{(sint)'_t}=\frac{-2sin2t}{cost} \~$

$\~ 2.二阶求y'' \ \begin{cases} x=\frac{t^2}{2} \ y=1-t \ \end{cases} \~$ $y'=\frac{(1-t)'_t}{\frac{t^2}{2}'_t}=-\frac{1}{t} \~\ y''=\frac{d(y')}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{d(y')}{dt}\frac{1}{\frac{dx}{dt}} [\frac{dx}{dt}在计算y'时已经算出，带入\frac{dx}{dt}和y'] \ = (-\frac{1}{t})'_t(\frac{1}{t})=t^{-2}(\frac{1}{t})=t^{-3} \ \~$

$分段函数求导: \ 连续：\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) \ 一元函数：可微 \Leftrightarrow 可导 \ne 连续 (可导必连续，图像相连且光滑) \~$

$例: \~ 讨论y=e^{|x|}在x=0的可导性 \ y=e^{|x|} \begin{cases} e^x ~ ~~~~~~~x>0 \ 1 ~~~~~~~~~~x=0\ e^{-x} ~~~~~~x<0 \end{cases} \~$

$[注：若y=e^{|x|}在x=0连续：\lim\limits_{x \to 0}f(x)=f(x_0)=1~,此处需\lim\limits_{x \to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=1] \~$ $[注：若y=e^{|x|}在x=0可导：f'+(0)=f'-(0)~] \~$ $f'+(0)=\lim\limits{x \to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{e^x-1}{x}=1$

$f'-(0)= \lim\limits{x \to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x \to 0^-}\frac{e^{-x-}1}{x}=-1 \~$ $则y=e^{|x|}在x=0处不可导(f'(0)不存在) \~\~\~$

$问f(x)的不可导点的个数\ (常规解法：左右极限是否相等-连续~ 且 ~极限\lim\limits_{x \to x_0}f(x)是否等于函数值f(x_0) \ 记结论： \ 绝对值内外相等则可导 \ 如f(x)=|x|在x=0不可导, 而g(x)=x|x| 在x=0可导 \ 又如 ~x(x+1)x(+2)|x(x+1)|在x=0和x=-1可导，在x=-2不可导，1个不可导点\ \~$

$变限积分求导!!! \~\ 微积分基本定理： f(x)连续， F(x)=\int_{a}^x f(t)dt \ \int_{a}^b f(x)dx 可转化为[a,b]的图形面积 \ \~\ 重要变型公式：\~ (\int_{a}^{g(x)} f(t)dt)'= f(g(x))g'(x) \~\ (\int_{h(x)}^{a} f(t)dt)' = (-\int_{a}^{h(x)} f(t)dt)' = -f(g(x))g'(x) \~\ (\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt)' = f(h(x))h'(x)-f(g(x))g'(x) \ \~$

$\~ [~~\int^x_af(t,x)dt~若t,x无法分离，用变量替换~] \~$

$例：\ 注意：只允许字母x出现在积分上下限中 \~ y=\int_{0}^{x} (x(g(t))-tg(t))dt =\int_{0}^{x} x(g(t)dt- \int_{0}^{x}tg(t))dt \~ =x \int_{0}^{x} g(t)dt- \int_{0}^{x}tg(t))dt ~~~~[运用(uv)'=u'v+uv']\ y'=(x \int_{0}^{x} g(t)dt- \int_{0}^{x}tg(t))dt)'=\int_{0}^{x} g(t)dt+xg(x)-xg(x)=\int_{0}^{x} g(t)dt \~$ $根据(C)'=0 ： \ (\int_a^bf(x)dx)'=(F(x)|_a^b)'_x=(F(b)-F(a))'= 0 ~~~[没有含x字母，视为常数] \ 对比： \ \frac{d}{dx}\int_a^bsinx^2dx=0 \~\ \frac{d}{db}\int_a^bsinx^2dx= (F(b)-F(a))'_b=f(b)-0=f(b)=sinb^2 ~ [熟练后可直接写sinb^2 ]\ \~$

$求导与积分(凑微分)~~[求导容易积分难] \ (\sqrt x)'= \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt x} 逆运算 \int \frac{1}{\sqrt x}dx=2\sqrt x+c \ f'( \Delta)=f'( \Delta)+\Delta f( \Delta) =0*\Delta=0 \to 【e^{\Delta x} 】 \ (xlnx)'=lnx+1, (\frac{lnx}{x})'= \frac{1-lnx}{x^2} \ \int \frac{1-lnx}{(x-lnx)^2}dx=\int \frac{ \frac{1-lnx}{x^2} } {\frac{(x-lnx)^2}{x^2} }dx = \int \frac{ d \frac{lnx}{x} }{ (1-\frac{lnx}{x})^2 } [d中可等价添加常数]= -\int \frac{ d (1-\frac{lnx}{x}) }{ (1-\frac{lnx}{x})^2 } = \frac{1}{1-\frac{lnx}{x}}+c \ \~$

$若题中告知f'(x)存在 =>导数定义求极限:$

$f'(x_0)=\lim\limits_{g(t) \to 0}\frac{f(x_0+g(t))-f(x_0)}{g(t)} \~$ $用分子相减的部分做分母![满足变型后可确定]$

$f'(1)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(1+2sinx)-f(1)}{2sinx}$ $f'(1)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(1)-f(1-3tanx)}{3tanx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(1-3tanx)-f(1)}{-3tanx}\~\~$

$凑导数定义例题：\~$ $【扩结论:若\lim\limits_{x \to \square} \frac{f(x)}{g(x)} \exists ~~且分母~\lim\limits_{x \to \square}g(x) =0 ~~~\Rightarrow \lim\limits_{x \to \square}f(x)=0\~$

$例：求f(x)在x=1可导,已知 \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2})-3f(1+sin^2x)}{x^2}=2 ,求f'(1)\~$ $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2})-3f(1+sin^2x)}{x^2}=2$ $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2})-f(1)+3f(1)-3f(1+sin^2x)-2f(1)}{x^2}=2$ $根据x=1极限\exist且分母\lim\limits_{x \to 0}x^2=0 \Rightarrow分子极限=0，带入x=1,f(1)-3f(1)=0~~\Rightarrow~~f(1)=0$ $\lim\limits_{x \to 0} (\frac{f(e^{x^2})-f(1)}{e^{x^2}-1})(\frac{f(e^{x^2}-1}{x^2})+3\lim\limits_{x \to 0}(\frac{f(1)-3f(1+sin^2x)}{-sin^2x})(\frac{-sin^2x}{x^2})=2$ $f'(1)-3f'(1)=2$ $f'(1)=-1$

$经典考题：$ $设y=f(x),由方程y-x=e^{x(1-y)}确定,求\lim\limits_{n \to \infty}[f(\frac{1}{n})-1]n$

$隐函数求导基本功，(尝试x=0,1,-1)代入法x=0,y=1(即f(0)=1)$ $对x求导~~~~~~~y'-1=e^{x(1-y)}(1-y+x(-y)')$ $代入x=0,y=1,y'-1=0,即y'=1,(代入的是x=0,即f'(0)=1)$

$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} ~~~\frac{x=\frac{1}{n}}{}\lim\limits_{n \to \infty} \frac{[f(\frac{1}{n})-f(0)]}{\frac{1}{n}-0}$

$原式\lim\limits_{n \to \infty} [f(\frac{1}{n})-1]n=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{[f(\frac{1}{n})-f(0)]}{\frac{1}{n}-0}=f'(0)=1 \ (代入f(0)=1,f'(0)=1) \~\~$