「高等数学」1.1.1 映射

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映射概念

定义: 设 \(X, Y\) 是两个非空集合, 如果存在一个法则 \(f\), 使得对 \(X\) 中的每个元素 \(x\), 按法则 \(f\), 在 \(Y\) 中有唯一确定的元素 \(y\) 与之对应, 那么称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射, 记作

\[f: X \rightarrow Y, \]

其中 \(y\) 称为元素 \(x\) (在映射 \(f\) 下) 的像, 并记作 \(f(x)\), 即

\[y = f(x), \]

而元素 \(x\) 称为元素 \(y\) (在映射 \(f\) 下) 的原像; 集合 \(X\) 称为映射 \(f\) 的定义域, 记作 \(D_f\), 即 \(D_f = X\); \(X\) 中的所有元素的像所组成的集合称为映射 \(f\) 的值域, 记作 \(R_f\) 或 \(f(x)\), 即

\[R_f = f(X) = \{f(x) | x \in X \}. \]

值得注意的是:
\(D_f = X, R_f \subset Y\), 不一定 \(R_f = Y\);
对于每个 \(x \in X\), 元素 \(x\) 的像 \(y\) 是唯一的; 而对于每个 \(y \in R_f\), 元素 \(y\) 的原根不一定是唯一的.

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设 \(f\) 是从集合 \(X\) 到集合 \(Y\) 的映射, 若 \(R_f = Y\), 即 \(Y\) 中任意元素 \(y\) 都是 \(X\) 中某元素的像, 则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 上的映射或满射 (注意这里与前面 "从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射"不一样); 若对 \(X\) 中任意两个不同元素 \(x_1 \ne x_2\), 他们的像 \(f(x_1) \ne f(x_2)\), 则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 的单射; 若映射 \(f\) 既是单设, 又是满射, 则称 \(f\) 为一一对应 (或双射).

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映射又称为算子. 在不同的数学分支, 映射有不同的惯用名称.
从非空集 \(X\) 到数集 \(Y\) 的映射又称为 \(X\) 上的泛函, 从非空集 \(X\) 到它自身的映射又称为 \(X\) 上的变换, 从实数集 (或其子集) \(X\) 到实数集 \(Y\) 的映射通常称为定义在 \(X\) 上的函数.

逆映射与复合映射

设 \(f\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的单射, 则由定义, 对每个 \(y \in R_f\), 有唯一的 \(x \in X\), 适合 \(f(x) = y\).
于是, 我们可以定义一个从 \(R_f\) 到 \(X\) 的新映射 \(g\), 即

\[g: R_f \rightarrow X, \]

对每个 \(y \in R_f\), 规定 \(g(y) = x\), 这个 \(x\) 满足 \(f(x) = y\). 这个映射 \(g\) 称为 \(f\) 的逆映射, 记作 \(f^{-1}\), 其定义域 \(D_{f^{-1}} = R_f\), 值域 \(R_{f^{-1}} = X\).
只有单射才存在逆映射.

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设有两个映射

\[g:X \rightarrow Y_1, \quad f:Y_2 \rightarrow Z \]

其中 \(Y_1 \subset Y_2\), 则由映射 \(g\) 和 \(f\) 可以定出一个从 \(X\) 到 \(Z\) 的对应法则, 它将每个 \(x \in X\) 映成 \(f[g(x)] \in Z\). 显然, 这个对应法则确定了一个从 \(X\) 到 \(Z\) 的映射, 这个映射称为映射 \(g\) 和 \(f\) 构成的复合映射, 记作 \(f \circ g\), 即

\[f \circ g: X \rightarrow Z, (f \circ g)(x) = f[g(x)], x \in X. \]

由复合映射的定义可知, 映射 \(g\) 和 \(f\) 构成的复合映射的条件是: \(g\) 的值域 \(R_g\) 必须包含在 \(f\) 的定义域内, 即 \(R_g \subset D_f\). 否则不能构成复合映射. 由此可知, 映射 \(g\) 和 \(f\) 的复合是有顺序的, \(f \circ g\) 有意义并不表示 \(g \circ f\) 也有意义. 即使 \(f \circ g\) 与 \(g \circ f\) 都有意义, 复合映射 \(f \circ g\) 与 \(g \circ f\) 也未必相同.

例题

设有映射 \(g: \mathbf{R} \rightarrow [-1, 1]\), 对每个 \(x \in \mathbf{R}\), \(g(x) = \sin x\); 映射 \(f: [-1, 1] \rightarrow [0, 1]\), 对每个 \(u \in [-1, 1]\), \(f(u) = \sqrt{1 - u^2}\), 则映射 \(g\) 和 \(f\) 构成的复合映射 \(f \circ g: \mathbf{R} \rightarrow [0, 1]\), 对于每个 \(x \in \mathbf{R}\), 有

\[(f \circ g) (x) = f[g(x)] = f(\sin x) = \sqrt{1 - \sin^2 x} = |\cos x| \]

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