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线性规划学习笔记

1 线性规划

定义

定义 1.1 已知一组实数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，以及一组变量 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，在这些变量的一个线性函数定义为 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \sum_{i=1}\limits^n a_i x_i\)。

等式 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=b\)，不等式 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \leq b\)，\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \geq b\) 统称为线性约束。

称满足所有限制条件的解 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 为可行解，使目标函数达到最优的可行解为最优解，所有可行解构成的区域为解空间。

线性规划的性质

定义 1.2 标准型

标准型线性规划要求满足如下形式：

最大化 \(\sum\limits_{j=1}^n c_jx_j\)，满足约束 \(\sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}x_j \leq b_i\)，\(x_j \geq 0\)。

所有线性规划问题都可以用标准型描述。

对于无限制的变量 \(x\)，可以拆成两个变量 \(x_0,x_1\)，使得 \(x=x_0-x_1\)。

标准型可以用矩阵表示。

为了方便地求解线性规划，需要所有约束都是等式。

定义 1.3 松弛型

松弛型线性规划要求满足如下形式

最大化 \(\sum\limits_{j=1}^n c_jx_j\)，满足约束 \(x_{i+n} = b_i - \sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}x_j\)，\(x_j \geq 0\)。

标准型转化为松弛型是容易的。

由于每一个线性不等式的解空间都是一个凸型区域，所以整个解空间也是一个凸型区域。

所以只有一个局部最优解，因此使用一个类似爬山的算法就不用担心停滞在局部最优解。

所以就引出了单纯形法。

2 单纯形

算法描述

其核心是转轴操作，即变量的代换。

首先有一些定义：

基变量： 在松弛型等式左侧的所有变量。

非基变量： 在松弛型等式右侧的所有变量。

单纯形算法有两个主要的操作：转轴操作以及 simplex 操作。

而转轴操作的作用是选择一个基变量 \(x_B\) 以及一个非基变量 \(x_N\)，将其互换（称这个非基变量为 换入变量，基变量为 换出变量）。

具体地，一开始有 \(x_B = b_i - \sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}x_j\)，那么 \(x_N = (b_i - \sum\limits_{j\not=N} a_{i,j}x_j -x_B) / a_{i,N}\)。

当然，在选择 \(x_N\) 的时候要保证 \(a_{i,N} \not = 0\)。

simplex 操作是单纯形法的主过程，从一个基本解出发，经过一系列转轴操作达到最优解。通过选择特定的换入变量以及换出变量，可以使得每次转移操作都能使目标函数增大，直到达到最优解。

即进行一次转轴后，我们也同步的将新的等式带入其他等式，然后带入我们最大化的式子，常数项显然就是我们当前维护的松弛型线性规划基本解对应的答案。

如目标函数有正的系数，那么就意味着目标函数有可能可以被进一步增大，所以我们就持续进行转轴操作直到所有系数为负。

而 转轴 操作对换入和换出变量的选取，每次选择一个在目标函数中系数为正的增大，令其为换入变量，然后考虑增大他，但增大往往有限制，我们在这些限制中选一个最紧的限制，令其基变量为换出变量，然后进行代换。

如果我们无法找到约束条件，说明这个线性规划是无界的。

关于初始化，有时候我们可能无法通过将所有非基变量赋为 \(0\) 达到寻找初始解的目的。

我们可以通过引入一个辅助线性规划：

最大化 \(-x_0\)

满足约束 \(x_{i+n} = b_i - \sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}x_j+x_0\)，\(x_j \geq 0\)。

容易发现，这个线性规划的最优解中 \(x_0 = 0\)，而达到之后，这一定构成原线性规划的可行解。

我们不能通过全部赋为 \(0\) 得到可行解，说明 \(b\) 中存在负数。我们找到最小的一个 \(b_l\)，对第 \(l\) 个约束做转轴。

之后，第 \(l\) 个约束变为 \(x_0 = -b_l + \sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}x_j+x_{l+n}\)，显然满足 \(-b_l > 0\)。

其余约束变为 \(b_{i+n} = -b_l + b_i + \sum\limits_{j=1}^n (a_{l,j} - a_{i,j})x_j+x_{l+n}\)。显然 \(b_i - b_l \geq 0\)。

操作之后，辅助线性规划就有一个将非基变量赋为 \(0\) 的基本解，然后对其 simplex 即可。

单纯形法的时间复杂度

不是多项式算法，但很快，不说了。

但一般线性规划问题可以在多项式复杂度解决。

3 对偶问题

论文的引入中给出了一个有意思的现象，我们尝试去用我们限制中的不等式去拟合我们的目标式子，然后可以将最小化转化为最大化的线性规划问题。

举个论文中的例子：

考虑下面的线性规划：

最小化

\[7x_1+x_2+5x_3 \]

满足约束：

\[x_1-x_2+3x_3 \geq 10 \\ 5x_1+2x_2-x_3 \geq 6 \\ x_i \geq 0 \]

这个可以变换成如下样子：

\[7x_1 + x_2+5x_3 \geq (y_1 + 5y_2)x_1+(-y_1+2y_2)x_2+(3y_1-y_2)x_3 = f(y_1,y_2) \geq 10y_1 + 6y_2 \]

然后我们的目标就是在满足相关限制的情况下最大化 \(10y_1+6y_2\)，惊喜地发现这也是个线性规划问题：

最大化

\[10y_1+6y_2 \]

满足约束

\[y_1 + 5y_2 \leq 7 \\ -y_1 + 2y_2 \leq 1 \\ 3y_1 - y_2 \leq 5 \\ y_i \geq 0 \]

我们称初始的线性规划为 原问题，新得到的线性规划为 对偶问题。我们对对偶问题再对偶一次其实就是原问题。也就是说一个最大问题可以对偶成最小问题，最小问题也可以对偶成最大问题。

下面给出形式化定义：

**定义6.1 ** 对偶问题

给定一个原始线性规划：

最小化 \(\sum\limits_{j=1}^n c_jx_j\)

满足约束 \(\sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}x_j \geq b_i\)，\(x_j \geq 0\)。

定义它的对偶线性规划为：

最大化 \(\sum\limits_{i=1}^m b_iy_i\)

满足约束 \(\sum\limits_{i=1}^m a_{i,j}y_i \leq c_j\)，\(y_i \geq 0\)。

结合引子中的例子，这是容易理解的。

线性规划对偶性

哦，这一段论文阐述了这个对偶过程正确性。我知道它很正确啦！

互松弛定理： 若 \(x,y\) 分别是原问题及对偶问题的可行解，那么 \(x,y\) 都是最优解 当且仅当 下列两个条件被同时满足：

• 对于所有 \(1 \leq j \leq n\) 满足 \(x_j = 0\) 或 \(\sum\limits_{i=1}^m a_{i,j}y_i = c_j\)。
• 对于所有 \(1 \leq i \leq m\) 满足 \(y_i = 0\) 或 \(\sum\limits_{j=1}^n a_{i,j}x_j = b_i\)。

一些经典问题的对偶

网络流最大流

这个可以由线性规划对偶直接得到。

定理：网络流最大流等于最小割。

二分图最大权匹配问题

我确实会推导力！

定理 在一张带权二分图中，最大权匹配等于最小顶标和。

定理 二分图中，最大匹配数等于最小点覆盖数。

一般来说，我们倾向于将最小顶标和转化为最大权匹配。

例题

「SHOI2004」最小生成树

一条非树边的权值必须大于与其形成圈的树边的权值，以此形成做限制形成对偶。

这实际上就是一个二分图最小顶标和问题，可以转化成二分图最大权匹配。

Orz the MST

这个与上道题很像，可以直接一样列出线性规划，然后就可以写出对偶式子，根据对偶式子可以直接建出最大费用可行流的模型了。

数据范围有点大，大概要使用势能dij。

「ZJOI2013」防守战线

容易发现，这个题目直接就是一个线性规划的形式，对偶完之后好看了一些，直接可以拆点费用流处理。

「BZOJ1283」序列

感觉会是一个典题。

先写出一个线性规划的形式，然后就可以直接扫一遍贪心力！

为什么不对捏。哦，原始线性规划少条件了。

对偶完其实就和志愿者招募是一样的，你说的对，但我网络流建图不太会了。

去复习了一轮！

「ZJOI2020」序列

条件是恰好变成 \(0\)。

先直接构造线性规划。首先会有 \(O(n^2)\) 个变量。形成 \(O(n)\) 个等于的限制，最小化变量和。

线性规划感觉还是用笔做着舒服。

对偶完只剩下 \(n\) 个变量，但这些变量的取值很抽象。

也不是那么抽象，因为一些特殊区间的限制，每个位置的取值变成了 \(\{-1,0,1\}\)，因为不能更大，更小也没有意义。

考虑 \(dp\) 套 \(dp\)，维护三个最大后缀和，显然取值范围是 \(\{0,1\}\)。于是就可以计算最大贡献。

线性规划是强大的。

「雅礼集训 2018 Day8」B

安装时间其实是这个有向无环图的一条最长路。这意味着所需时间其实很难描述。

这个最长路大概也可以用线性规划描述。就是按照边和每个软件包的结束时间描述，建立超源超汇即可表示答案。

于是我们就得到了一个有 \(2n\) 个变量的线性规划。不妨将其对偶一下。对偶完有 \(m + n + 1\) 个变量。

考虑二分那个单独存在的不等式的系数，那是不是可以构造费用流？

特别扭曲的形式。换个办法，我们二分最小的时间，计算最小的代价。

然后给线性规划对偶一下就可以容易地进行费用流的构建。

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