前言
前几篇笔记，我们已经介绍了沿速度和距离两个维度进行感应，本篇文章介绍沿着雷达第三个维度角度进行分析。在说明角度测量原理之前，我们先提出几个问题？
- How does the radar estimate the angle of arrrival of an object in the front of the radar？在雷达前方存在一个物体，雷达是如何估算物体的到达角？物体的模型如下图所示。
- What if there are multiple object at different angles? 在不同的角度存在多个物体，但可能具有相同的距离和相同的相对速度，会怎么样？
- What determines the maximum field of view？ 雷达的最大可测范围角是多少？由什么决定了？
到达角测量基础
回忆之前的笔记，我们在讨论雷达测速原理时，得出一个重要的结论：中频信号的相位对物体的距离的微小变化十分敏感。当距离变换\(\Delta d\)时 \(\omega = \frac{4\pi \Delta d}{\lambda}\)，角度估算利用相同的原理，角度估算需要至少2个RX天线。这里是利用物体相对于雷达天线的差分距离，过程如下图所示。由于接受天线存在一个距离，所以接收信号到达雷达的 距离存在一个\(\Delta d\)的差异，所以两个天线之间的中频信号的相位差为\(\omega = \frac{2\pi \Delta d}{\lambda}\)，至于为什么分子的系数为2而不是4，那是因为只有发射回来的单程路径存在一个\(\Delta d\)的距离差。
那这个距离和物体于雷达的角度存在什么样的关系？我们将雷达和物体的角度关系和变化的距离关系画出，如下图所示。在下图我们是假设雷达之间的距离为\(d\)，则接受信号到达雷达的两个接受天线的距离差公式为\(dsin(\theta) => \theta =sin^{-1}(\frac{\lambda \omega}{2 \pi d})\)。
在数据上我们天线1的中频信号做2D-FFT处理和天线2的中频信号做2D-FFT处理对比相同位置的谱峰的相位差。
下面我们分析角度的测量公式\(\omega = \frac{2\pi \Delta d}{\lambda}\)，可以很明显的知道，两个天线的对应谱峰的相位差和物体的雷达不是线性关系，\(\omega\)和\(\theta\)的关系如下图所示，我们回想一下，在测速笔记中，相位和物体的速度是线性关系的，在测距笔记中频信号的频率和距离是线性关系，而在测角中相位和角度不是线性关系而是\(sin(\theta)\)的关系。在\(\theta\)接近于0时，\(sin(\theta)\)对\(\theta\)十分的敏感，而\(\theta\)接近90°时，\(sin(\theta)\)对\(\theta\)的变化非常不敏感。这说明，当物体在雷达正前方时，物体对雷达的角度测量效果十分好，但是当物体逐渐增加并且接近90°，当然由于噪声，估算角度的准确性会下降。
在测速那个笔记中，我们计算出雷达的速度存在一个最大不模糊的速度，那么雷达的角度测量是否也相同存在一个最大不模糊的角度了？和计算最大不模糊速度相同。不模糊的最大相位差\(|\omega| < 180°\)，所以\(\omega = \frac{2\pi \Delta d}{\lambda} < \pi\)
\(\theta<sin^{-1}(\frac{\lambda}{2d})\) ,所以最大不模糊角度取决于接收天线之间的距离。
现在思考一个问题，如果在雷达前方存在两个物体，两个物体离雷达的距离相同并且速度也相同。上诉的方法还可以识别出两个物体的角度吗？ 答案是否定的，对于两个天线而言，只能区分一个距离一个速度的上的一个物体角度，如果需要同一距离同一速度上的不同的角度则需要大于2的接收天线。
角度分辨率
角度分辨率的定义:两个物体的到底角分别位于\(\theta\)和\(\theta+\Delta \theta\)，那么当两个物体的角度差差异多少时，可以将两个物体的角度在角度FFT的谱峰中区分的出来，这就是角度分辨率的定义。
在之前的分析中，我们有一个结论，到达角为\(\theta\)的物体具有离散频率\(\omega\)，它为\(\frac{2\pi sin(\theta)}{\lambda}\)并且\(\omega > \frac{2\pi}{N}\)，\(N\)为FFT中的采样的样本数，所以我们可以进行如下的推导。
\[\begin{aligned} &\Delta w = \frac{2\pi d}{\lambda}(sin(\theta+\Delta \theta) - sin(\theta)) \\ &为了化简公式，利用\frac{sin(\theta-\Delta\theta)}{\Delta\theta} =cos(\theta)\\ &化简后的式子\Delta w = \frac{2\pi d}{\lambda}(sin(\theta+\Delta \theta) - sin(\theta))\approx \frac{2\pi d}{\lambda}cos(\theta)\Delta\theta \\ &\Delta w > \frac{2\pi}{N} \\ &\frac{2\pi d}{\lambda}cos(\theta)\Delta\theta > \frac{2\pi}{N} \\ &\Delta\theta > \frac{\lambda}{Ndcos(\theta)}\\ \end{aligned} \] 其中\(N\)是天线的数量，\(d\)是两个连续天线之间的距离，所以在上面的推导的公式可以得到\(\theta_{res} = \frac{\lambda}{Ndcos(\theta)}\)，实际中天线和天线之间的距离为\(\frac{\lambda}{2}\)而\(\theta = 0\)，所以角度分辨率为\(\theta_{res}=\frac{2}{N}\) ,需要注意的一点是，这里的单位是弧度制。
现在分析一下角度分辨率\(\Delta\theta > \frac{\lambda}{Ndcos(\theta)}\)，在之前的笔记中，速度分辨和距离分辨率都是独立于速度和距离的变量。但是角度分辨率根据公式而言发现其和当前物体的角度是存在关系。其本质的原因在于\(sin(\theta)\)的不一致。所有对由\(\theta\)分隔的两个物体，其在角度FFT中的叫频率在\(\theta\)等于0，离的更远而随着角度的增加，两物体的角频率越来越近。如下图红色和蓝色两个物体，在\(\theta = 0\)处，两者角度差为\(\theta\),经过FFT后的角频率差的比较大，随着角度的移动，相同角度差\(\theta\)，两者的角频率差越来越小。
下图是角度估算的过程。对于多个不同天线得到的信号进行速度FFT结果，然后在这些相同的2D-FFT谱峰进行FFT得到角度FFT，而角度FFT的谱峰就可以得到到达角。
