文章目录
- 1.矩阵的一些基础知识
- 1.1 矩阵只有乘法
- 1.2 向量有点乘(也是内积)和叉乘：
- 1.3 单位向量
- 1.4 正交矩阵
- 1.5 线性无关和线性相关的向量
- 1.6 矩阵的逆
- 1.7 对称矩阵
- 1.7 矩阵的秩（rank）
- 1.8 伴随矩阵
- 1.9 矩阵的零空间
- 1.10 矩阵的扩展基定理
1.矩阵的一些基础知识
1.1 矩阵只有乘法
1.2 向量有点乘(也是内积)和叉乘：
（1）点乘就是两个对应向量值相乘
：得到的是一个数值
- 高中知道两个向量的长度解法：
- 如果给出两个向量的值：
则两个向量的内积：
- 学了线性代数之后，发现其实跟高中的向量表示方法是不同的，通常一个向量其实是列向量，即是：
则两个列向量的乘积通常表示为：
（2）叉乘得到是一个向量：
1.3 单位向量
向量模为1的向量被称为单位向量。模的计算公式为：
1.4 正交矩阵
- 其中
为单位矩阵
- 正交矩阵有几个性质：
（1）A的各行是单位向量且两两正交(两个行向量的内积为0)
（2）A的各列是单位向量且两两正交
（3）A的各行（或者列）是模为1的向量
比如：
1.5 线性无关和线性相关的向量
在向量空间V的一组向量，如果存在不全为零的数
, 使
则称向量组A是线性相关的，否则数全为0时，称它是线性无关。
1.6 矩阵的逆
AB=E，则说B为A的逆矩阵
1.7 对称矩阵
对称矩阵（Symmetric Matrices）是指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵
1.7 矩阵的秩（rank）
（1）n阶行列式的值怎么求解？
n阶行列式求解方法
- 代数余子式：
- 利用代数余子式求解n阶行列式：
（2）r阶行列式
r阶行列式就是对一个矩阵画r条横线，r条竖线，这个横竖线交叉的元素构成了一个新的数表，这个数表的行列式就叫作这个矩阵的r阶子式。
（3）矩阵的秩
-定义：矩阵中的任意一个r阶子式不为0，且任意的r+1阶子式为0，则阶数r就叫作该矩阵的秩。
- 最简单求矩阵的秩的方法是：化简成上三角或者下三角的行列式，然后数出非零行（或列）的个数。具体方法：javascript:void(0)
1.8 伴随矩阵
矩阵中的全部元素的代数余子式所构成的矩阵就为伴随矩阵。
方阵的各元素的代数余子式
所构成的如下矩阵
:
1.9 矩阵的零空间
如果存在矩阵，要找到它的零空间，须找到所有向量
$v$使得.