振动

谐振子

在物理学的不同领域甚至别的学科中，出现的方程式往往是完全一样的，这导致不同领域中会有相似的现象。因此对一个领域的研究可以扩展我们对另一个领域的认识，我们从一开始就应到认识到这种扩展的可能性，才能坚定地为此付出时间和精力。

学习谐振子本质上是在学习“常系数线性微分方程”。一般的\(n\)阶常系数线性微分方程可以写作\(a_n\dfrac{d^n x}{dt^n}+a_{n-1}\dfrac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\dfrac{dx}{dt}+a_0x=f(t)\)。其中，水平弹簧上挂一个重物的简谐运动模型的方程形式最简单，形如\(m\dfrac{d^2 x}{dt^2}=-kx\)。为了方便，我们暂时令\(k=m\)，那么消去得到\(\dfrac{d^2 x}{dt^2}=-x\)。我们发现，三角函数刚好满足这个性质，因此\(x=\cos t\)（或者\(\sin t\)）会是一个可行解。而经过尝试，我们发现\(x=A\cos t\)对于任意的\(A\)都是可行的——这说明了线性微分方程的一个极其重要的性质：如果用任意常数乘以方程的一个解，所得结果仍是方程的解。从数学上这可以用“常数可以提出微分之外”来解释，而它的物理意义却很有意思——如果我们在初始时把物体拉到原来的两倍的距离上，那么其受力也变成两倍；虽然路程边远，但它加速的也更快，最后的结果是时间不变——也就是说，对于遵循线性方程的运动来说，不管运动有多“强”，它都会具有相同的“时间图像”。所以为了使物体满足一般的方程\(m\dfrac{d^2 x}{dt^2}=-kx\)，我们必须尝试改变时间的标度。 设\(x=\cos \omega_0 t\)，其二阶导为\(-\omega_0^2 \cos \omega_0 t = -\omega_0^2 x\)。因此只需令\(\omega_0^2 = \dfrac{k}{m}\)就得到一个解了。我们知道三角函数是周期函数，而\(w_0T=2\pi\)时刚好走完一个周期，因此我们就称\(T\)为简谐运动的一个周期。

我们已经知道，仅根据微分方程是无法确定常数系数的，并且由于初速度初位移的各种不同，最后解的情况也不同。我们依旧假定解是三角函数的形式，那么改变初相位，得到解\(\cos(\omega_0 t + \Delta)\)，对它和差展开，我们发现任何形如\(x=A\cos \omega_0 t+B\sin \omega_0 t\)都是可能成为解的。我们可以用这个形式来待定系数，求出初始条件下的方程。

对于任何一个求得的解，我们可以验证解决定的弹性势能和动能之和对任意时间\(t\)恒为常数，这与能量守恒定律相符。

“简谐运动的解是三角函数”这一事实暗示了简谐运动与圆周运动在数学上具有某种联系，因为三角函数最初是定义在单位圆上的。其实，在研究圆周运动时，我们其实已经结果简谐运动的微分方程了——圆周运动的水平投影（或者竖直投影）就是简谐运动，向心加速度的水平分量水平投影运动的加速度，而就是对应简谐运动的加速度。如果我们把振动看作某个圆周运动的投影，那么我们就只需要分析简谐运动而没有必要分析微分方程了，尽管另一个方向的运动完全是人为补充的多余的运动。而如果我们用复数的技巧，会使得运算变得简单。

受迫振动

受迫运动是弹簧振子在受到一个外策力\(F(t)\)的作用下的运动。假设力也是一个振动，比如\(F(t)=F_0\cos \omega t\)，那么动力学方程为

\(m\dfrac{d^2 x}{dt^2}=-kx+F_0\cos \omega t\)

我们在上文中非受迫振动时曾得到了一个固定的周期，对应有\(\omega_0^2 = \dfrac{k}{m}\)。这个\(\omega _0\)是由\(k,m\)决定的，即由弹簧振子本身的性质决定。所以我们可以做代换\(k=m\omega_0^2\)。那么也就是要解微分方程

\(m\dfrac{d^2 x}{dt^2}+m\omega_0^2 x=F_0\cos\omega t\)

我们设想\(x\)依然是三角函数，并且和外策力具有相同的频率（试一试总是可以的）。这是符合直觉的，因为假如我们不断来回推动物体，物体必将与力同步来回运动。代入\(x = C\cos \omega t\)，得到

\(-mC\omega^2 \cos \omega t+m\omega_0^2 C\cos \omega t=F_0 \cos \omega t\)

看来这是可行得，并且\(C\)必须等于\(\dfrac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\)

这个解就是受迫振动的运动，它表面受迫谐振子和外策力频率相同，但振动幅度由外策力频率决定。当\(\omega=\omega_0\)时，振动幅度趋向无穷（理想情况，实际情况由于摩擦力的存在，弹簧劲度系数有限，不可能达到无穷）；当\(\omega\)远小于\(\omega_0\)时，\(C\)为正，位移矢量和力的矢量方向相同，因为此时推得很慢；而远大于时，位移矢量必须和力得矢量方向相反。当外策力频率很高的时候，分母很大，振幅很小。

显然，这个解是在特定初始条件下的。在别的初始条件下还会有别的解，我们暂时先不讨论。

阻尼振动

现在我们再把阻力加入到方程中。在很多情况下，阻力与速度成正比，比如在油或很浓的液体中，物体运动的越快，油为了让其更快通过必须受到更大的力，因此阻力也就越大。我们解方程：

\(m\dfrac{d^2 x}{dt^2}+c\dfrac{dx}{dt}+kx=F(t)\)

方便起见，取\(c=m\gamma,k=m\omega_0^2\)，并再次假定\(F=F_0\cos \omega t\)，那么化简得到

\(\dfrac{d^2 x}{dt^2}+\gamma\dfrac{dx}{dt}+\omega_0^2x=\dfrac{F_0\cos\omega t}{m}\)

我们依然假设解是常数乘以与外策力频率相同的三角函数，但这一次必须带上相位差。但由于正弦与余弦的同时存在，运算将很繁琐。为了运算上的方便，我们引入复数的技巧。根据欧拉公式\(e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\)，我们可以用幂指数来代替三角函数。我们把\(x,F\)看作复数，因为复数相等肯定得要求实部相等，我们把上述方程作为我们复数方程的实部（这种方法能适用正是因为方程是线性的，因此实部和虚部才能互相独立）。记\(\hat{F}=F_0 e^{i\omega t}\)（尖号代表复数），位移为复数\(\hat{x}\)，那么要解方程

\(\dfrac{d^2 \hat{x}}{dt^2}+\gamma\dfrac{d \hat{x}}{dt}+\omega_0^2\hat{x}=\dfrac{\hat{F}}{m}\)

根据我们的假设，\(x\)作为幂指数取一次导数就相当于其本身乘以指数上\(t\)的系数——微分被转化为了乘法！那么代入得到

\((i\omega)^2\hat{x}+\gamma(i\omega)\hat{x}+\omega_0^2 \hat{x}=\dfrac{\hat{F}}{m}\)

因此\(\hat{x} = \dfrac{\hat{F}}{m(\omega_0^2-\omega^2+i\gamma \omega)}\)

这说明解是力乘以（复数的）常数，一个复数常数肯定可以被某个\(\rho e^{i\theta}\)表示，因此\(\hat{x}=\rho e^{i\theta}F_0e^{i\omega t}=\rho F_0e^{i(\omega t+\theta)}\)。取实部，就得到\(x=\rho F_0\cos(\omega t+\theta)\)。我们通过对这个常数分母实数化就可以得到\(\dfrac{1}{m(\omega_0^2-\omega^2+i\gamma \omega)}=\dfrac{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma \omega}{m(\omega_0^2-\omega^2+i\gamma \omega)(\omega_0^2-\omega^2-i\gamma \omega)}=\dfrac{\omega_0^2-\omega^2-i\gamma \omega}{m((\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2)}\)由此可得\(\rho = \dfrac{1}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}}\)，\(\tan \theta=\dfrac{\gamma \omega}{\omega^2-\omega_0^2}\)。

由此我们看到振幅是\(\dfrac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}}\)，可见在阻尼存在的情况下振幅能达到极大而不是无穷大。\(\gamma\)是阻尼的系数，如果它很小，那么左边的项主导振幅的大小。

共振

在阻尼振动中，如果\(\omega\)和\(\omega_0\)非常接近并且\(\gamma\)很小，那么\((\omega_0^2-\omega^2)=(\omega_0+\omega)(\omega_0-\omega)\)\(\approx 2\omega_0(\omega_0-\omega)\)，\(\gamma \omega \approx \gamma \omega_0\)，于是振幅可以近似为\(\dfrac{F_0}{m\sqrt{4\omega_0^2(\omega_0-\omega)^2+\gamma^2\omega_0^2}}\)\(=\dfrac{F_0}{2m\omega_0\sqrt{(\omega_0-\omega)^2+\gamma^2/4}}\)。这个公式成为“共振”公式，它是在\(\omega\)与\(\omega_0\)很接近且阻尼\(\gamma\)很小时的阻尼振动。共振现象的重要性在于，它在很多其他情况中也会出现。例如如果把一个电感、电阻和电容串联在一起，会得到一个关于电荷\(q\)的线性微分方程，这个方程和阻尼振动一模一样，因此我们可以直接得到解——电路同样有着共振的性质。