一、素数筛和唯一分解
1.素数判断
我们可以从 $2$ 到 $p-1$ 一个一个试除，如果有能整除就不是素数，特判 $1,2$ 就行了。
但这样太慢了，我们知道 $\forall n \in Z,n=k_1k_2...k_t;k_1,k_2...k_t\in Z$，及对于任意合数，定有 $k_i \le \sqrt{n}$，所以我们只需要判断 $\sqrt{n}$ 以内的数即可，就可以把时间优化到 $O(\sqrt{n})$。
code
bool prime(int x){
if(x == 1) return 0;
if(x == 2) return 1;
for(long long i = 2;i * i <= x;i ++)if(x % i == 0)return 0;
return 1;
}
2.素数筛选
那么我们如何筛选出 $n$ 以内的素数表呢？
(1)暴力筛选
把 $1$ 到 $n$ 遍历一遍，每个数都判一下素数，是的就存起来。
它的复杂度显然 $O(n\sqrt n)$。
(2)埃氏筛
在暴力筛选的基础上做些优化，每次筛出一个素数，就把它后面它的倍数打一个标记，之后就不需要判断它了。
memset(is_prime,1,sizeof(is_prime));
is_prime[1]=0;//此数组记录是否为素数
for(int i=2;i<=n;i++)
if(is_prime[i]){
prime[++tot]=i;//此数组记录素数表
for(int j=i+i;j<=n;j+=i)is_prime[j]=0;
}
(3)欧拉筛
在埃氏筛的基础上进行优化。
埃氏筛的缺点是，同样的一个合数 $x$ 若 $x = p_1p_2k$，其中 $p_1p_2$ 是素数，那么 $x$ 就会在 $p1$ 和 $p2$ 时被标记两次，这样就增加了时间复杂度。
欧拉筛的基本思想就是每次只让构成一个数的最小素数筛掉它。
// memset(isp,1,sizeof isp);
isp[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n;i ++){
if(!isp[i])prime[++tot]=i;
for(int j = 1;j <= tot && i*prime[j] <= n;j ++){
isp[i*prime[j]]=1;
if(!i%prime[j])break;
}
}
其中 if(!i%prime[j])break; 是关键。
对于需要标记的数 $i \times prime[j]$，如果 $prime[j] | i$，那么下面 $i \times prime[j+n]$ 一定可以写成 $\dfrac{i}{prime[j]}\times prime[j] \times prime[j+n]$，因为素数表单调递增，显然其中最小的素因子不是 $prime[j+n]$，而是 $prime[j]$ ！所以在此时应该 break 掉！
2.唯一分解定理与素因子分解
唯一分解定理
非常简单，即任意自然数可以分成几个素数的成绩，且这个分解唯一确定
唯一分解的性质
-
一个数的所有正因子个数为其素因子指数加一相乘。
-
两个数的最大公因数为其相同素因子指数取最小值后的乘积。
-
两个数的最小公倍数为其相同素因子指数取最大值后的乘积。
（懒得打公式了
分解质因数
引理：$n$ 最多有 $1$ 个素因子 $> \sqrt n$。
(1)枚举法
枚举每个数，试除即可。
tot=0;
for(int i=2;i*i<=n;i++)
if(n%i==0){
p[++tot]=i;a[tot]=0;
while(n%i==0)n=n/i,a[tot]++;
}
if(n>1)p[++tot]=n,a[tot]=1;
(2)筛选法
先筛出素数表，只试除素数，时间略有优化。
void init(int n){
memset(is_p,1,sizeof(is_p));
is_p[1]=0;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
if(is_p[i]==1){
prime[++m]=i;
for(int j=i+i;j<=n;j+=i) is_p[j]=0;
}
}
}
void divid(int n){
int tem=n;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(prime[i]*prime[i]>tem)break;
if(n%prime[i]==0){
p[++tot]=prime[i];a[tot]=0;
while(n%prime[i]==0)a[tot]++,n/=prime[i];
}
}
if(n>1)p[++tot]=n,a[tot]++;
}
(3)记录最小素因子
维护 $n$ 以内所有数的最小素因子
void init(int n){
memset(is_p,0,sizeof(is_p));
for(int i=2;i<=n;i++){
if(prime[i]==0){
prime[i]=i;
for(int j=i+i;j<=n;j+=i) if(!prime[j])prime[j]=i;
}
}
}
void divid(int n){
while(n!=1){
p[++tot]=prime[n];a[tot]=0;
while(n%p[tot]==0)a[tot]++,n/=p[tot];
}
}
二、扩展欧几里得
1.用途:
求解逆元、好像还可以解二元一次不定方程。
说句闲话：数学课老师让解二元一次方程组，讲题直接扩欧：“这显然是跑两遍EXGCD，求出最小解加膜数取个交集即可。”
于是我写了满满一黑板递归。。。
2.板子
推导
我们已知 $a,b$ 要求 $x,y$， 使 $ax + by = \gcd(a,b)$
那么，我们可以得到：$bx'+(a \bmod b)y' = \gcd(b,a \bmod b)$
所以：$bx' + (a-b\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor)y' = \gcd(b,a \bmod b)$
$ay' + b(x' + \lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y') = \gcd(b,a \bmod b)=ax + by$
为了使等式成立我们得到：$x=x'$，$y = (x' + \lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y')$ 以此递归下去，最后当 $b = 0$ 时，$x = 1,y = 0$ 再归回去就行。
所以代码实现是这样的：
inline int exgcd(int a,int b){
if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}
int g = exgcd(b,a%b);
int t = x;
x = y;
y = t - a/b*y;
return g;
}
3.应用
通常我们用拓展欧几里得求解最小正整数解问题。
设 $g = gcd(a,b)$，求，满足 $ax+by=g$ 的最小的正整数 $x$;
当我们用扩展欧几里得求出满足 $ax+by=g$ 的 $x,y$ 时，我们对其再做一下变形：
即：$a(x+k\dfrac{b}{g})+b(y-k\dfrac{a}{g})= g$
所以对于 $x$，加 $k$ 个 $\dfrac{b}{g}$ 都不影响等式成立。所以我们不妨把它看做一个周期 $T = \dfrac{b}{g}$。
那么我们可以得到，倘若扩展欧几里得跑完之后，$x$ 是一个负数，我们可以对其加一些 $T$ 让它变成正数，再找最小值即可。
对于求最小值，我们有 $x_{min}=((x \mod T)+T) \mod T$。
解释一下：第一个取膜，让 $|x|$ 小于 $T$。加上 $T$ 使其变成正的（前提是 $x$ 一开始是负的，是正的的话无所谓）。最后膜 $T$ 保证其最小，万无一失。（毕竟有可能加上 $T$ 以后 $x$ 比 $T$ 大，这样显然不是最小解）
code：
int g = exgcd(a,b);
int T = b/g;
x = (x%T+T)%T;
应用 $\times 2$
我们终于可以尝试用扩展欧几里得解二元一次不定方程了！！
给定一个方程：$ax+by=c$，我们要求 $x$ 的最小正整数解。
首先EXGCD，得到了 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的解，令 $g = \gcd(a,b)$。
等式两边同除：$a\dfrac{x}{g}+b\dfrac{y}{g}=1$
两边同乘：$a\dfrac{cx}{g}+b\dfrac{cy}{g}=c$
这时候我们发现，当 $g \nmid c$ 时是无解的。
这样我们就解决了这类问题。
（注：当系数有负数出没，注意取反）
应用 $\times 3$
现在可以求逆元了。
逆元定义：
使 $ax \equiv 1 \pmod p$ 成了的 $x$，写作 $a^{-1}$。
求法：
如果 $p\perp a$ ，那么直接求 $\dfrac{1}{a}\pmod p$ ，费马小定理就行了。
我们还可以EXGCD，就需要求出 $ax+by=1$ 的解即可。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,p,x,y;
inline int exgcd(int a,int b){
if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}
int g = exgcd(b,a%b);
int t = x;
x = y;
y = t - a/b*y;
return g;
}
inline int ask(int a,int b){
x = y = 0;
int g = exgcd(a,b);
int T = b/g;
x = (x%T+T)%T;
return x;
}
int main(){
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin >> n >> p;
for(int i = 1;i <= n;i ++){
cout<<ask(i,p)<<endl;
}
return 0;
}
这个写法在 P3811 【模板】乘法逆元里面只能拿64分。
二、费马小定理
1.基本定理
$$a^{p-1}\equiv1\pmod p$$
其中 $p$ 为素数且 $p \perp a$。
费马小定理求逆元
对上式做基本数论变换，即可得到:
$$a^{p-2} \equiv a^{-1}\pmod p$$
那么 $a$ 在膜 $p$ 意义下的逆元就恒等于 $a^{p-2}$,这样快速幂即可实现，比扩展欧几里得快，时间是 $O(\log n)$的，但不能处理普通膜数。
三、逆元的其他求法
如果我们想求出 $n$ 以内所有数的逆元，如果使用费马小定理挨个求解，时间就是 $O(n \log n)$ 的，下面我们考虑如何优化到线性。
1.线性求逆元
求 $i$ 在膜 $p$ 意义下的逆元
设 $i \equiv r \pmod p$
则 $p = ki+r$
$ki+r \equiv 0 \pmod p$
$ki \times i{-1}r + r \times i{-1}r \equiv 0 \pmod p$
$kr{-1}+i \equiv 0\pmod p$
$i^{-1} \equiv -kr^{-1} \pmod p$
$i^{-1} = -\lfloor{\dfrac{p}{i}}\rfloor(p\bmod i)^{-1}\pmod p$
$i^{-1} = (p - \lfloor{\dfrac{p}{i}}\rfloor)(p\bmod i)^{-1}$
这样就形成了一个递推关系式，如下代码就可以实现线性求连续自然数逆元：
for(int i=2;i<=n;i++)
inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
2.阶乘求逆元
$f[n]=\dfrac{1}{n!}$
$f[n-1]=\dfrac{1}{(n-1)!}=\dfrac{1}{n!}\times n=f[n]\times n$
$i^{-1}=\dfrac{1}{i!}\times (i-1)!$
$inv[i]=f[i]\times fact[i];(fact[i]=i!)$
其中就可以在求阶乘时取膜，时间依然是线性的。
fact[1]=1%p;
for(int i=2;i<=n;i++)fact[i]=(fact[i-1]*i)%p;
f[n]=fast(fact[n],p-2);
for(int i=n-1;i>=1;i--)
f[i]=(f[i+1]*(i+1))%p;
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
inv[i]=(f[i]*fact[i-1])%p;
数论倒数基本应用
求 $\dfrac{a}{b}\bmod p$。
Lucas 定理
快速求解组合数 $\dbinom{n}{m}$
$Lucas(n,m)=C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p$
四、欧拉函数 $\varphi(x)$
1.含义：
$\varphi(x)$ 的含义是 $x$ 的缩系的阶，即 $m$ 以内与之互素的元素个数。
$$\varphi(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1]$$
2.性质：
(1)$x$ 为素数
若 $p$ 为素数，有 $\varphi(p) = p-1$。
(2)求 $\varphi (x^k)$
若 $p$ 为素数，$\varphi(p^k) = p^k - p{k-1}=p(p-1)=p^{k-1}\varphi(p)$。
(3)积性
设 $m=m_1m_2$ 有若 $m_1 \perp m_2$，那么 $\varphi(m) = \varphi(m_1)\varphi(m_2)$。
(3)欧拉定理
$$a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod m$$
特别的，当 $m$ 为素数是，该式与费马小定理相同。
(4)求欧拉函数
第一种是分解质因数直接求
若 $n=p_1{k_1}p_2\cdots p_m^{k_m}$
那么 $\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}{m}(1-p_i)$
其本质就是容斥原理。
int phi(int n){
LL ans=n;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
if(n%i==0){
ans=ans/i*(i-1);
while(n%i==0)n=n/i;
}
}
if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
return ans;
}
第二种是递推求法，用欧拉筛线性求解
求解过程中，如果已经知道 $\varphi(x)$ 的值，求 $\varphi(px)$，我们需要分两种情况讨论。
-
若 $p|x$，$\varphi(px)=\varphi(x)\times p$
-
若 $p\nmid x$，$\varphi(px)=\varphi(x)\times \varphi(p)$
vis[1]=1;
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i])prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
}
}
3.扩展欧拉定理
$$a^b\bmod m=\begin{cases}a^{b\bmod\varphi(m)+\varphi(m)}\bmod m & b \ge\varphi(m)\a^{b\bmod\varphi(m)}\bmod m & a\perp m\a^b\bmod m & b < \varphi(m)\end{cases}$$
五、狄利克雷卷积与莫比乌斯反演
算是比较难的数论内容了。
1.狄利克雷卷积
数论函数的一种运算法则，记 $h = f * g$ 为：
$$h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})$$
这个运算符合基本的运算律。
2.莫比乌斯反演
对于数论函数 $F(x)$ 和 $f(x)$，有 $F = f*1$，那么如果我们已经知道了 $F(x)$，该如何求解 $f(x)$ 呢？
列一下：
$F(1)=f(1)$
$F(2)=f(2)+f(1)$
$F(3)=f(3)+f(1)$
$F(4)=f(4)+f(2)+f(1)$
$\cdots\cdots$
这样我们似乎有了一个 $n$ 元方程组，我们考虑消元求解就行。
我们发现：
$f(1)=F(1)$
$f(2)=F(2)-F(1)$
$f(3)=F(3)-F(1)$
$f(4)=F(4)-F(2)+F(1)$
根据上述我们不难发现规律，$f(n)$ 的值就等于 $F(\dfrac{n}{d})$ 相加减！
继续探寻规律，就得到 $f = \mu * F$。
其中 $\mu$ 就是莫比乌斯函数。
莫比乌斯函数
$$\mu(x)=\begin{cases}1 & x = 1\(-1)^k & x=p_1p_2\cdots p_k\0& x\texttt{\tiny{有平方因子}}\end{cases}$$
莫比乌斯函数的本质是一个容斥系数，其实在刚才的例子里也不难看出。
对于莫比乌斯函数的求解，按照其积性线性筛即可
inline void mobius(){
int n = 1e6;
mob[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n;i ++){
if(!vis[i])prm[++tot] = i,mob[i] = -1;
for(int j = 1;j <= tot && prm[j]*i <= n;j ++){
vis[i*prm[j]] = 1;
if(i % prm[j]==0){
mob[i * prm[j]] = 0;
break;
}
mob[i * prm[j]] = -mob[i];
}
}
}
结论：
$\mu * 1 = $
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