前言
关于向量,以前我们学习了概念:向量的投影
,现在新人教 \(A\) 版教材中又出现了新概念:投影向量
,如何理解和区分这两个数学概念?这个我们得从向量的内积谈起:
向量内积
已知两个非零向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\)由于我们研究的是自由向量,所以可以平移任意两个非零向量,使得其起点为同一个点,如图所示 ,它们的夹角为 \(\theta\) , 我们把数量 \(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}\)\(|\cdot\)\(\cos\theta\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的数量积[或内积(inner product,也称为点乘 [1])], 记作 \(\vec{a}\cdot \vec{b}\), 即
\[\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta \]
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" id="LTTP" onl oad='this.height=document.getElementById("LTTP").scrollWidth*0.563+"px"' src="https://www.netpad.net.cn/presentationEditor/presentationPlay.html#739199" style="border: 1px solid #ccc" width="90%"></iframe>规定: 零向量 \(\vec{0}\) 与任一向量的数量积为 0 。对比向量的线性运算, 我们发现, 向量线性运算的结果是一个向量, 而两个向量的数量积是一个数量, 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。
过点 \(A\) 做向量 \(\vec{b}\) 所在直线的垂线段,垂足为点 \(A_1\),则有向线段 \(OA_1\) 称为向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影[此为向量投影的形的表达]。
当\(0\leq\theta<\cfrac{\pi}{2}\)时,此投影为正,当\(\theta=\cfrac{\pi}{2}\)时,此投影为 \(0\), 当\(\cfrac{\pi}{2}<\theta\leq \pi\)时,此投影为负。
由表达式 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)可知 ,向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影为\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\) [此为向量投影的数的表达]。 同理,向量 \(\vec{b}\) 在向量 \(\vec{a}\) 上的投影为\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)。
- 内积[ 点乘 ]的几何意义包括:
①. 表征或计算两个向量之间的夹角,从表达式 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\) ,可以分析得到,当已知 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\) 和 \(|\vec{a}|\)以及 \(|\vec{b}|\) 时,我们就可以求解两个向量之间的夹角;
②. \(\vec{a}\) 向量在 \(\vec{b}\) 向量方向上的投影(或 \(\vec{b}\) 向量在 \(\vec{a}\) 向量方向上的投影);
投影向量
如下图所示,设 \(\vec{a}, \vec{b}\) 是两个非零向量, \(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{CD}=\vec{b}\), 我们考虑如下的变换
: 过 \(\overrightarrow{AB}\) 的起点 \(A\) 和终点 \(B\),分别作 \(\overrightarrow{CD}\) 所在直线的垂线, 垂足分别为 \(A_1\),\(B_1\),得到 \(\overrightarrow{A_1B_1}\), 我们称上述变换为向量 \(\vec{a}\) 向 向量 \(\vec{b}\) 投影project,此处可以理解为在两个向量所在的平面内有一条和直线CD平行的线光源从上往下照射,从而使得向量 \(\overrightarrow{AB}\) 的影子就是向量 \(\overrightarrow{A_1B_1}\), \(\overrightarrow{A_1B_1}\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影向量。
- 综上所述,向量的投影 是个数量,投影向量 是个向量。
典例剖析
【法1】:利用向量的坐标运算得到,\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=2x+y\),故转化为求 \(2x+y\) 的最大值,即求 \(z=2x+y\) 的最大值,用线性规划的常规方法解决即可。
【法2】:利用向量的投影的几何意义求解,说明:点\(M\)是三角形区域内部及边界上的一个动点,动画只做了点\(M\)在边界上的情形;
注:图中有向线段\(OB\)是向量\(\overrightarrow{OM}\)在向量\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影,它是可正,可负,可零的;
\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\),其中\(|\overrightarrow{OA}|\)是个定值,
故只需要求\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的最大值,而\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的几何意义是\(\overrightarrow{OM}\)在\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影,
由图形可知,当点\(M(x,y)\)位于点\((2,-1)\)时投影\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)最大,故将点\((2,-1)\)代入\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=3\)。
变式题:求\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最小值是多少?
分析:由上图可以看出,当两个向量的夹角为钝角时,其投影是负值,故当点\(M\)位于点\(C\)时,其内积最小,
此时将点\((-1,-1)\)代入得到\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=-3\)。
由于对实数 \(a\),\(b\) 而言,\(a\cdot b=ab=a\times b\),受此影响,我们对向量之间的点乘往往不会引起足够的重视,以为\(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}\),这就大错特错了,\(\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}\)称为向量的外积,在三维几何中,向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)构成的平面。
在 \(3D\) 图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示
在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:\(|\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}|\) 在数值上等于由向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)构成的平行四边形的面积。
添加这段内容,仅仅为引起大家的注意,向量的内积的写法非常特别。
谨记,对向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\) 而言,\(\vec{a}\cdot \vec{b}\neq \vec{a}\times \vec{b}\), ↩︎