首页 > 其他分享 >向量的内积与投影向量

向量的内积与投影向量

时间:2023-03-12 17:44:33浏览次数:41  
标签:内积 overrightarrow cdot 投影 OM vec 向量

前言

关于向量,以前我们学习了概念:向量的投影,现在新人教 \(A\) 版教材中又出现了新概念:投影向量,如何理解和区分这两个数学概念?这个我们得从向量的内积谈起:

向量内积

已知两个非零向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\)由于我们研究的是自由向量,所以可以平移任意两个非零向量,使得其起点为同一个点,如图所示 ,它们的夹角为 \(\theta\) , 我们把数量 \(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}\)\(|\cdot\)\(\cos\theta\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的数量积[或内积(inner product,也称为点乘 [1])], 记作 \(\vec{a}\cdot \vec{b}\), 即

\[\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta \]

<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" id="LTTP" onl oad='this.height=document.getElementById("LTTP").scrollWidth*0.563+"px"' src="https://www.netpad.net.cn/presentationEditor/presentationPlay.html#739199" style="border: 1px solid #ccc" width="90%"></iframe>

规定: 零向量 \(\vec{0}\) 与任一向量的数量积为 0 。对比向量的线性运算, 我们发现, 向量线性运算的结果是一个向量, 而两个向量的数量积是一个数量, 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。

过点 \(A\) 做向量 \(\vec{b}\) 所在直线的垂线段,垂足为点 \(A_1\),则有向线段 \(OA_1\) 称为向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影[此为向量投影的形的表达]。

当\(0\leq\theta<\cfrac{\pi}{2}\)时,此投影为正,当\(\theta=\cfrac{\pi}{2}\)时,此投影为 \(0\), 当\(\cfrac{\pi}{2}<\theta\leq \pi\)时,此投影为负。

由表达式 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)可知 ,向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影为\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\) [此为向量投影的数的表达]。 同理,向量 \(\vec{b}\) 在向量 \(\vec{a}\) 上的投影为\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\)。

  • 内积[ 点乘 ]的几何意义包括:

①. 表征或计算两个向量之间的夹角,从表达式 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(|\vec{a}|\)\(\cdot\)\(|\vec{b}|\)\(\cdot\)\(\cos\theta\) ,可以分析得到,当已知 \(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\) 和 \(|\vec{a}|\)以及 \(|\vec{b}|\) 时,我们就可以求解两个向量之间的夹角;

②. \(\vec{a}\) 向量在 \(\vec{b}\) 向量方向上的投影(或 \(\vec{b}\) 向量在 \(\vec{a}\) 向量方向上的投影);

投影向量

如下图所示,设 \(\vec{a}, \vec{b}\) 是两个非零向量, \(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{CD}=\vec{b}\), 我们考虑如下的变换: 过 \(\overrightarrow{AB}\) 的起点 \(A\) 和终点 \(B\),分别作 \(\overrightarrow{CD}\) 所在直线的垂线, 垂足分别为 \(A_1\),\(B_1\),得到 \(\overrightarrow{A_1B_1}\), 我们称上述变换为向量 \(\vec{a}\) 向 向量 \(\vec{b}\) 投影project,此处可以理解为在两个向量所在的平面内有一条和直线CD平行的线光源从上往下照射,从而使得向量 \(\overrightarrow{AB}\) 的影子就是向量 \(\overrightarrow{A_1B_1}\), \(\overrightarrow{A_1B_1}\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影向量。

<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" id="LTTP" onl oad='this.height=document.getElementById("LTTP").scrollWidth*0.563+"px"' src="https://www.netpad.net.cn/presentationEditor/presentationPlay.html#739107" style="border: 1px solid #ccc" width="90%"></iframe>
  • 综上所述,向量的投影 是个数量,投影向量 是个向量。

典例剖析

【2018西安八校联考第5题】已知\(O\)是坐标原点,点\(A(2,1)\),点\(M(x,y)\)是平面区域\(\begin{cases}&y\leq x\\&x+y\leq 1\\&y\ge -1\end{cases}\)内的一个动点,则\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最大值是多少?

【法1】:利用向量的坐标运算得到,\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=2x+y\),故转化为求 \(2x+y\) 的最大值,即求 \(z=2x+y\) 的最大值,用线性规划的常规方法解决即可。

【法2】:利用向量的投影的几何意义求解,说明:点\(M\)是三角形区域内部及边界上的一个动点,动画只做了点\(M\)在边界上的情形;

注:图中有向线段\(OB\)是向量\(\overrightarrow{OM}\)在向量\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影,它是可正,可负,可零的;

\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\),其中\(|\overrightarrow{OA}|\)是个定值,

故只需要求\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的最大值,而\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的几何意义是\(\overrightarrow{OM}\)在\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影,

由图形可知,当点\(M(x,y)\)位于点\((2,-1)\)时投影\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)最大,故将点\((2,-1)\)代入\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=3\)。

变式题:求\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最小值是多少?

分析:由上图可以看出,当两个向量的夹角为钝角时,其投影是负值,故当点\(M\)位于点\(C\)时,其内积最小,

此时将点\((-1,-1)\)代入得到\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=-3\)。

【2023人教A版高一第二册】


  1. 由于对实数 \(a\),\(b\) 而言,\(a\cdot b=ab=a\times b\),受此影响,我们对向量之间的点乘往往不会引起足够的重视,以为\(\vec{a}\)\(\cdot\)\(\vec{b}\)\(=\)\(\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}\),这就大错特错了,\(\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}\)称为向量的外积,在三维几何中,向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)构成的平面。
    在 \(3D\) 图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示
    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:\(|\vec{a}\)\(\times\)\(\vec{b}|\) 在数值上等于由向量\(\vec{a}\)和向量\(\vec{b}\)构成的平行四边形的面积。
    添加这段内容,仅仅为引起大家的注意,向量的内积的写法非常特别。
    谨记,对向量\(\vec{a}\),\(\vec{b}\) 而言,\(\vec{a}\cdot \vec{b}\neq \vec{a}\times \vec{b}\), ↩︎

标签:内积,overrightarrow,cdot,投影,OM,vec,向量
From: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/17206857.html

相关文章

  • 训练词向量
    1.3训练词向量学习目标了解词向量的相关知识.掌握fasttext工具训练词向量的过程.词向量的相关知识:用向量表示文本中的词汇(或字符)是现代机器学习中最流行的做法,这些向......
  • 向量的计算(减法)
    减法:等于各分量相减公式:[x1,y1,z1]-[x2,y2,z2]=[x1-x2,y1-y2,z1-z2]几何意义:向量a,向量b相减,理解为以b的终点为始点,以a的终点为终点的向量,方向由b指向a(指向被减数)在Un......
  • 向量的加减法与内外积
     假设有两个向量a=(x,y,z)、b=(i,j,k),它们之间的夹角为θ1、加法数学运算:a+b=(x+i,y+j,z+k)例如a=(1,2,4)b=(3,5,6),那么a+b=(1+3,2+5,4+6)=(4,7,10)向量加法符......
  • 【回归本源】1.2-向量点乘
    书接上文,麦子带大家简单看了下向量是什么以及向量的加减法,到目前为止所有的结论都是很直观的,但是讲到向量的乘法时我们遇到了两个问题:两个向量相乘是个什么含义呢?两个向......
  • Word2vec之情感语义分析实战(part3)--利用分布式词向量完成监督学习任务
    引言这篇博客将基于前面一篇博客Part2做进一步的探索与实战。demo代码与数据:传送门单词的数值化表示前面我们训练了单词的语义理解模型。如果我们深入研究就会发......
  • 国家大地2000坐标系的椭球坐标系(4490)与平面坐标系(投影坐标系)4547,4548,4549...的面积对
    IWorkspaceFactorypWSF=newFileGDBWorkspaceFactoryClass();IFeatureWorkspacepFWS=(IFeatureWorkspace)pWSF.OpenFromFile(@"D:\gis数据\测试0303.g......
  • 灰色预测+支持向量机预测财政收入
    本案例按照1994年我国财政体制改革后至2013年的数据进行分析并预测未来两年财政收入变化情况。主要按照财政收入分析预测模型流程进行原始数据为1995年至2015年企业的13个......
  • Eigen矩阵/向量操作
    应知应会Eigen中矩阵和向量相加,没有Python中的广播机制Eigen中的索引时是小括号()而不是方括号[],不同于python中的numpy参考资料官网文档:https://eigen.tuxfamily.o......
  • Bundle Adjustment---即最小化重投影误差(高翔slam---第七讲)
    一.历史由来          Adjustmentcomputation最早是由geodesy的人搞出来的。19世纪中期的时候,geodetics的学者就开始研究largescaletriangulations(大型三......
  • 中文词向量
    https://github.com/Embedding/Chinese-Word-Vectorsgithub上的wiki_word百度网盘资源失效了使用这个网址给的资源全球Web图标最全中文词向量数据下载-都是训练好的......