哥德尔不完备定理

全文转载自：5分钟看懂“哥德尔不完备定理”，原来这个定理如此有趣

相信不少朋友听过一个定理叫“哥德尔不完备定理”，但是稍微查查这个定理相关资料发现讲解得非常抽象，有没有简单易懂的讲述方式呢，当然有，本人就是来给大家用通俗易懂的语言讲解各种深奥理论而写作的。

首先这个定理虽然保护“不完备”三个字，但是你千万别理解说哥德尔这个人，创造出来的定理是不完备的，恰恰相反，定理本身肯定必须完备，只不过定理的内容是说“某某东西不完完备而已”。所以了解这点之后我们就要进一步讲解这个定理。

首先问大家一个问题，什么是自然数？其实稍微有点数学基础的朋友就知道，1、2、3、4等数都是自然数，所以哥德尔的这个定理其实主要是在自然数这个范围内描述。所以一旦你所接触的数学中很多定理不是涉及自然数的，那么自然就不能用哥德尔的这个定理来描述。

所以你已经知道这个定理的作用范围就是“自然数”，了解范围后你需要知道什么叫“不完备”？，其实不完备并不是我们直觉字面意思所理解的，不完备在数学上有专门的定义。当你说某一个数学系统不完备，言下之意就是说这个数学体系里面有一些定理，不能在这个数学体系本身范围内被证明，只能跑到超出这个数学体系的其它体系下才能被证明。

可能这样说有点抽象，举个例子，假设有一个大家族有A、B、C、D、E这5个定理，那么这5个定理共同构成了一个数学体系。那么当我说这个体系不完备，我的意思是说这个体系内的定理中，有部分定理是不能用其它定理来证明的。所以一旦这个体系不完备，那么这5个定理中，可能D这个定理就不能被另外四个定理证明，但是A、B、C、E都能在这个大家族内被证明。所以这样说大家就明白了吧。

你可能已经对这个定理有个模糊的理解了，我们进一步讲解，当一个数学体系（比如自然数体系）内有很多定理，但是这个自然数体系本身是不完备的。也就是说某一些定理在自然数体系内既不能被证明，又不能被证伪。但是数学家却对这个现象很不满意，因为数学本身讲求严谨和逻辑，一个体系不完备对于数学家来说是“如鲠在喉”，但是无论数学家如何努力，自然数体系就是不完备，当然我们也可以让他变得完备，策略就是放弃“自洽性”。

好了这里又出现一个新概念“自洽性”，什么是“自洽性”？自洽就是不矛盾。所以如果你想让自然数系统变得完备，可以的，那你得放弃自洽性，让一些定理之间相互矛盾，这样一来你的体系变完备了，但是自洽性又被破坏了。

所以哥德尔不完备定理，精髓就是自然数系统内“自洽性”和“完备性”不可兼得，只能放弃一个，保全另一个，有点鱼和熊掌不可兼得的意思。

但是事情到了这里还没完，因为我们目前数学上面还有很多猜想未被证明，比如黎曼猜想，哥德巴赫猜想等等，人类奋斗了这么多年，还是没有证明出来。在哥德尔不完备定理出现之前，人类遇到某猜想不能证明，第一反应就是：虽然现在不能证明，不代表以后不能证明，未来某时刻，肯定有某位数学家能够证明。但是当哥德尔不完备定理出现后，这个想法似乎被打破了，这似乎再暗示我们，有一些数学猜想，可能就是因为人们过渡去追求“自洽性”，把“自洽性保全了”，但是“完备性”却破坏了，所以出现了类似于“黎曼猜想”。这似乎再暗示：有一些数学猜想就是既不能被证明，又不能被证伪的，现在是这样，以后也是这样，不会有某位数学家能够改变这一点。

所以小小的数学，其实里面玄机非常多，我们知道很多定理，比如勾股定理，描述三角形用。但是你应该很少见过一个定理本身说：某某其它定理不能被证明。数学也是非常奇妙的一门学科，人类智慧的结晶，一点不为过。