群论练习：证明 Polya 定理

轨道-生成子引理
设 \(x\in X,\ G_x = \{g:gx = x\},\ O_x = Gx\) 则 \(|G| = |G_x| |O_x|\)

我们先证明 \(G_x\) 是 \(G\) 的一个子群，因为 \(gx = x \to g^{-1}gx = gx \to g^{-1}x = x\)，所以对于任意 \(g\in G,\ g' \in G\)，显然 \(gg'^{-1}x = x \to gg'^{-1} \in G\)，所以 \(G_x\) 是 \(G\) 的一个子群，而且 \(G_x\) 还是 \(G\) 的一个正规子群，考虑 \(\forall g' \in gG_x\)。

先证明 Burnside 引理。