2023-3-6
2 设 \(x,y\) 是欧式空间中的向量, \(\theta\) 是这两个向量间的夹角.试证明余弦定理成立:
\[||x-y||^2=||x||^2+||y||^2-2||x||\cdot||y||\cos\theta. \]
由定义可得 \(\cos\theta=\frac{<x,y>}{||x||\,||y||}\) .
其中
\[\begin{align} \||x||^2-2||x||\cdot||y||\cos\theta+||y||^2&=<x,x>-2||x||\cdot||y||\frac{<x,y>}{||x||\,||y||}+<y,y> \\&=<x,x>-2<x,y>+<y,y> \\&=<x-y,x-y>=||x-y||^2 \end{align} \]所以有
\[||x-y||^2=||x||^2+||y||^2-2||x||\cdot||y||\cos\theta. \]4 设 \(x,y\) 为欧式空间中的任意两个向量.证明平行四边形定理:
\[||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2). \]
显然有
\[\begin{align} ||x+y||^2+||x-y||^2&=<x+y,x+y>+<x-y,x-y> \\&=<x,x>+2<x,y>+<y,y>+<x,x>-2<x,y>+<y,y> \\&=2(||x||^2+||y||^2) \end{align} \]5 设 \(a,b\) 是欧式空间中两个不同的点,记 \(2r=||a-b||>0\) .求证:
\[B_r(a)\cap B_r(b)=\varnothing. \]
假设 \(B_r(a)\cap B_r(b)\neq\varnothing\) .取 \(c\in B_r(a)\cap B_r(b)\) ,则有 \(||a-b||=2r\leq||a-c||+||c-b||<2r\) ,矛盾.
故假设不成立.
6 设 \(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) .证明:对任意的 \(x\in\R^n\) ,有
\[\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n|x_i|\leq||x||\leq\sum_{i=1}^n|x_i|. \]
由均值不等式有
\[(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n|x_i|)^2=(\frac{\sum_{i=1}^n|x_i|}{n})^2\cdot n\leq\frac{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}{n}\cdot n=||x||^2=\sum_{i=1}^n|x_i|^2\leq(\sum_{i=1}^n|x_i|)^2 \]7 证明:对任意的 \(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\R^n\) ,有
\[\max|x_i|\leq||x||\leq n\max|x_i|. \]
设 \(|x_j|=\max|x_i|\) ,那么有
\[(\max|{x_i}|)^2=|x_j|^2\leq|x_j|^2+\sum_{1\leq i\leq n且i\neq j}|x_i|^2=||x||\leq\sum_{i=1}^n|x_j|^2<(n\max|x_i|)^2 \] 标签：frac,cdot,max,sum,leq,2023,theta From： https://www.cnblogs.com/OIER-Yu/p/17187618.html