逆矩阵是矩阵理论的一个重要概念, 逆矩阵的求法一直是矩阵理论的难点。逆矩阵可以类比成数字的倒数，比如数字5的倒数是1/5，矩阵A的“倒数”是A的逆矩阵。5(1/5)=1, A（A的逆矩阵） = I，I是单位矩阵。引入逆矩阵的原因之一是用来实现矩阵的除法。比如有矩阵X，A，B，其中X*A = B，我们要求X矩阵的值。本能来说，我们只需要将B/A就可以得到X矩阵了。但是对于矩阵来说，不存在直接相除的概念。我们需要借助逆矩阵，间接实现矩阵的除法。具体的做法是等式两边在相同位置同时乘以矩阵A的逆矩阵。
最简单的办法是用增广矩阵。如果要求逆的矩阵是A，则对增广矩阵（AI）进行初等行变换，I是单位矩阵，将A化到I，此时此矩阵的逆就是原来E的位置上的那个矩阵，原理是A逆乘以（A I）=（I A逆）初等行变换就是在矩阵的左边乘以A的逆矩阵得到的。
一 逆矩阵
如果 \(AB=I\)，那么我们就称\(B\)是\(A\)的逆矩阵，写作 \(B=A^{-1}\) 。单位矩阵英文为Identity，所以记作\(I\) 。
接下来我们看一下 $$A=\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}$$，这个矩阵是否存在逆矩阵。
我们希望通过行变换，将\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}变为 \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}，我们就解好了。
所以我们干脆就把这两个方程组拼在一起，\begin{bmatrix}1&3&1&0\\2&7&0&1\end{bmatrix}，对这个新的增广矩阵进行行变换，就相当于同时对上述那两个方程组进行消元操作，这里需要自己体会一下。上述方法叫做高斯-约尔当方法，本质就是同时处理两个矩阵。具体过程如下：
\[\begin{bmatrix}1&3&1&0\\2&7&0&1\end{bmatrix} \xrightarrow{} \begin{bmatrix}1&3&1&0\\0&1&-2&1\end{bmatrix}\xrightarrow{}\begin{bmatrix}1&0&7&-3\\0&1&-2&1\end{bmatrix} \]我们再总结一下高斯-约尔当方法，先是\begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix}，然后我们对 \(A\) 与 \(I\)进行相同的行变换，使 \(A\) 为单位阵，即左乘\(E\)矩阵。
\[E\times \begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}EA&EI\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I&EI\end{bmatrix} \]因为 \(EA=I\) ，所以 \(E=A^{-1}\) ，所以 \(EI=A^{-1}\) ，所以
\[E\times \begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}EA&EI\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I&EI\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I&A^{-1}\end{bmatrix} \]二 逆矩阵的计算
例1 试利用矩阵的初等变换求方阵$ A=\left [\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 3\end{array}\right] $的逆矩阵。
解: 现用初等行变换求其逆矩阵:
\begin{gathered} {[\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}]=\left(\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\frac{r_{2}+(-1) r_{1}}{r_{3}+(-1) r_{1}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)} \\ \frac{r_{2}(-1)}{r_{1}+(-2) r_{2}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 0 & 9 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 7 / 6 & 2 / 3 & -3 / 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 / 2 & 0 & 1 / 2 \end{array}\right) \end{gathered}
故 \(A\)可递，且其逆矩阵为
\[A^{-1}=\left [\begin{array}{ccc}7 / 6 & 2 / 3 & -3 / 2 \\ -1 & -1 & 2 \\-1 / 2 & 0 & 1 / 2\end{array}\right] \]例2 求矩阵A= \begin{pmatrix} 1&0&-2\\ -3&1&4\\ 2&-3&4\end{pmatrix}的逆矩阵。
解：这是一个三阶的矩阵，最简便有效的方法是初等变换法。我们将矩阵与单位矩阵排在一起，然后做初等变换
\begin{align*}(A\quad I)&=\begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ -3&1&4 &\vdots& 0&1&0\\ 2&-3&4 &\vdots& 0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ 0&1&-2 &\vdots& 3&1&0\\ 0&-3&8 &\vdots& -2&0&1\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&\vdots&1&0&0\\ 0&1&-2 &\vdots& 3&1&0\\ 0&0&2 &\vdots& 7&3&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&\vdots&8&3&1\\ 0&1&0 &\vdots& 10&4&1\\ 0&0&2 &\vdots& 7&3&1\end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&\vdots&8&3&1\\ 0&1&0 &\vdots& 10&4&1\\ 0&0&1 &\vdots& \frac{7}{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} \end{align*}
所以我们得到
\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 8&3&1\\ 10&4&1\\\frac{7}{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} \]例3 求矩阵A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&1&2\\ 1&1&1&-1\\ 1&0&-2&-6\end{pmatrix}的逆矩阵。
解：我们将下述矩阵做初等变换
\begin{align*} (A\quad I)&= \begin{pmatrix}1&2&3&4 &\vdots &1&0&0&0\\ 2&3&1&2 &\vdots &0&1&0&0\\ 1&1&1&-1 &\vdots &0&0&1&0\\ 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 2&3&1&2 &\vdots &0&1&0&0\\ 1&1&1&-1 &\vdots &0&0&1&0\\ 1&2&3&4 &\vdots &1&0&0&0 \end{pmatrix} \\& \sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&3&5&14 &\vdots &0&1&0&-2\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1\\ 0&2&5&10 &\vdots &1&0&0&-1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&3&5&14 &\vdots &0&1&0&-2 \\ 0&2&5&10 &\vdots &1&0&0&-1 \end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-4&-1 &\vdots &0&1&-3&1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&-4&-1 &\vdots &0&1&-3&1 \end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&-6 &\vdots &0&0&0&1\\ 0&1&3&5 &\vdots &0&0&1&-1 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&-2&0 &\vdots &24&-6&-30&19\\ 0&1&3&0 &\vdots &-20&5&26&-16 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&0 &\vdots &22&-6&-26&17\\ 0&1&0&0 &\vdots &-17&5&20&-13 \\ 0&0&-1&0 &\vdots &1&0&-2&1 \\ 0&0&0&-1 &\vdots &-4&1&5&-3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&0 &\vdots &22&-6&-26&17\\ 0&1&0&0 &\vdots &-17&5&20&-13 \\ 0&0&1&0 &\vdots &-1&0&2&-1 \\ 0&0&0&1 &\vdots &4&-1&-5&3 \end{pmatrix} \end{align*}
所以，我们得到
\[A^{-1}= \begin{pmatrix} 22&-6&-26&17\\ -17&5&20&-13 \\ -1&0&2&-1 \\ 4&-1&-5&3 \end{pmatrix} \]总结
高斯消元法是最经典也是最广为人知的一种矩阵求逆方法，但是在现实应用中很少用到高斯消元法来进行矩阵的逆矩阵的求解。高斯消元法有两个版本：行变换版本与列变换版本，在日常应用中行变换应用的更广泛。这两个基本原理都是相同的。高斯消元法先将矩阵A与单位矩阵I进行连接形成一个新的增广矩阵。两个可逆矩阵的乘积依然可逆。矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
参考文献
2. 公式法
例 求 \((A B)^{-1}\), 已知
\[A=\left [\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], B=\left [\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \]解: \(\boldsymbol{A}\) 为三阶初等矩阵, 可得
\[\boldsymbol{A B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}=\left [\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right] =\left [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right] \] 标签：begin,end,矩阵,结构化,数学,pmatrix,&-,vdots From： https://www.cnblogs.com/haohai9309/p/17185556.html