该部分在前半段的部分手写证明中错将δ写成φ，请见谅，等有空再改过来
LTI系统指线性时不变系统。该系统同时具备线性系统和时不变系统的性质，即齐次性、叠加性和时不变性。
对于一个LTI系统 x(t) -> y(t)，可以写成y(t) = x(t) * h(t)，即卷积运算（这里和编程语言中的乘号区分）。其中x(t)被称为单位脉冲序列。h(t)被称为单位脉冲响应。
h(t)是LTI系统的唯一标识：如果两个LTI系统的h(n)一样，则两个系统是一样的。
1. 冲激函数
首先定义冲激函数δ(t)和δ[n]。冲激函数具体表现为在t=0处，函数值无限逼近于正无穷，而冲激函数在定义域上的积分是1.冲激函数用图像有两种表示方法：
其中左图中的1表示该函数图像与x轴围成的面积（即其在定义域上的积分）为1.一种更好理解的画法是右图，当Δ->0时，1/Δ->+∞，但函数的积分始终是1.
有的书上可以看到另一种定义方法，其实质是一样的，后面会证明。
2. 离散LTI系统的卷积运算
解法一：列表法
- 确定y[n] = x[n] * h[n] 的取值范围：[x[n]的最左边+h[n]的最左边, [x[n]的最右边+h[n]的最右边]
- 列表
例如：对于如下x[n], h[n]，
列表：
| x[n]\h[n] | 1 | 1 | 2 | -1 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 3 | 6 | -3 | |||
| 2 | 2 | 2 | 4 | -2 | |||
| 1 | 1 | 1 | 2 | -1 | |||
| -1 | -1 | -1 | -2 | 1 | |||
| 求和 | 3 | 5 | 9 | 1 | -1 | -3 | 1 |
解法二：公式法
卷积公式：
\[x[n] \ast h[n] = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}{x[k]h[n-k]} \]离散卷积公式推导：
将公式转化为以下形式：
\[x[n] \ast h[n] = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}{x[k]h[-(k-n)]} \]从公式中可以看出计算过程设计四个步骤：
- 确定取值范围
- h[n]反转为h[-n]
- x[n]照抄
- 乘、加、移位
例如，对于上面那道题，先写出h[-n]和x[n]
h[-n]: -1 2 1 1
x[n] : 3 2 1 -1
if t == -2:
-1 2 1 1
3 2 1 -1
y[-2] = 1×3 = 3
if t == -1:
-1 2 1 1
3 2 1 -1
y[-2] = 1×3 + 1×2 = 5
if t == 0:
-1 2 1 1
3 2 1 -1
y[-2] = 6+2+1 = 9
...
if t == 4
-1 2 1 1
3 2 1 -1
y[4] = -1
由此可以求出y[n]的每一项的值。
3. 连续LTI系统的卷积运算
可以构造一个离散的函数来拟合连续的函数。当相邻离散值之间间隔的t->0时，该离散函数将会无限接近于连续函数。我们会发现，这其实就是积分的定义。
连续卷积公式推导：
4. 冲激函数δ(t)的性质
性质一
\[\int^{\infty}_{-\infty}{\delta(t)dt} = 1 \]核心：
性质二
\[\int^{\infty}_{-\infty}{x(t)\delta(t)dt} = x(0) \]证明：
\[\int^{\infty}_{-\infty}{x(t)\delta(t)dt}\\ =\lim_{\Delta \rightarrow 0} \int^{\infty}_{-\infty}{x(t)\cdot \frac{1}{\Delta}dt}\\ = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta} \int^{\Delta}_{0}{x(t)\cdot dt}\\ = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta} x(\epsilon)\Delta (0 \leqslant \epsilon \leqslant \Delta) (积分中值定理）\\ = \lim_{\Delta \rightarrow 0} x(\epsilon) (0 \leqslant \epsilon \leqslant \Delta)\\ = x(0) \]性质三
\[x(t)\delta(t) = x(0)\delta(t) \]证明：
广义上的性质三
\[x(t)\delta(t-t_0) = x(t_0)\delta(t-t_0) \]性质四
\[\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t) \]证明：
广义上的性质四
\[\delta(at+b) = \frac{1}{|a|}\delta(t+\frac{b}{a}) \]性质五
\[\delta(f(t)) = \sum_{所有f(t_0)=0}{\frac{1}{|f'(t0)|}\delta(t-t0)} \](未完)
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