Ascoli-Arzelà 定理：各种版本
目录紧空间, 紧致度量空间, 上确界拓扑
设 \(X\) 是紧空间, \((Y,d)\) 是紧致度量空间, 赋予 \(C(X,Y)\) 上确界度量
[1].
则对 \(C(X,Y)\) 的子集 \(\mathcal{F}\), 准紧\(\Leftrightarrow\)完全有界\(\Leftrightarrow\)等度连续.
Proof.
证明是自然的, 关键是从一组"离散"的数据构造一组"连续"的数据. 事实上, \(Y\) 的完备性是用在"完全有界\(\Rightarrow\)准紧", 在"等度连续\(\Rightarrow\)完全有界"只需要 \(Y\) 完全有界, 下面是其证明的概要.
任取 \(\varepsilon>0\). 利用 \(\mathcal{F}\) 等度连续以及 \(X\) 紧, 存在 \(x_i\ (1\le i\le n)\) 及其开邻域 \(U_i\), 使得 \(\forall f\in\mathcal{F},\forall x\in U_i,d(f(x),f(x_i))<\varepsilon\), 且 \(\{U_i\}_{1\le i\le n}\) 是 \(X\) 的一个开覆盖.
利用 \(Y\) 完全有界, 存在 \(Y\) 的有限 \(\varepsilon\)-开球覆盖 \(\{B_d(y_j,\varepsilon)\}_{1\le j\le n}\).
对每一个映射 \(\alpha:\{1,2,\cdots,m\}\to \{1,2,\cdots,n\}\) (这样的映射只有 \(mn\) 个), 考虑函数族
若 \(\mathcal{F}_{\alpha}\) 非空, 则取出其中一个元素, 记为 \(f_{\alpha}\). 容易看出 \(\{B_{\rho}(f_{\alpha},\varepsilon):\mathcal{F}_{\alpha}\neq \varnothing\}\) 是 \(\mathcal{F}\) 的一个有限 \(4\varepsilon\)-开球覆盖.
紧空间, 欧式空间, 上确界拓扑
设 \(X\) 是紧空间, \(\mathbb{R}^n\) 是欧式空间, 赋予 \(C(X,\mathbb{R}^n)\) 上确界度量. 则对 \(C(X,\mathbb{R}^n)\) 的子集 \(\mathcal{F}\), 准紧\(\Leftrightarrow\)完全有界\(\Leftrightarrow\)等度连续+有界\(\Leftrightarrow\)等度连续+逐点有界 [2].
Proof.
显然此时"准紧\(\Rightarrow\)完全有界\(\Rightarrow\)等度连续+有界\(\Rightarrow\)等度连续+逐点有界". 下证"等度连续+逐点有界\(\Rightarrow\)准紧", 想法是化归到 [*紧空间, 紧致度量空间, 上确界拓扑}] 版本的 Ascoli-Arzelà 定理. 只要证明存在 \(\mathbb{R}^n\) 的紧子集 \(Z\) 使得 \(\mathcal{G}\subset C(X,Z)\), 其中 \(\mathcal{G}\subset \overline{\mathcal{F}}\). 记 \(\mathcal{G}_a=\{g(a):g\in \mathcal{G}\}\). 注意到取值映射 \(\text{ev}_a:C(X,Y)\to Y\) 连续, 有 \(\text{ev}_a(\overline{\mathcal{F}})\subset \overline{\text{ev}_a(\mathcal{F})}\), 即 \(\mathcal{G}_a\subset \overline{\mathcal{F}_a}\). 由 \(\mathcal{F}\) 逐点有界知 \(\overline{\mathcal{F}_a}\) 是欧式空间 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界闭集, 从而紧, 于是 \(\overline{\mathcal{G}_a}\) 是紧空间的闭子集, 因此 \(\overline{\mathcal{G}_a}\) 紧, 特别地, \(\mathcal{G}_a\) 有界. 由 \(\mathcal{F}\) 等度连续知 \(\mathcal{G}\) 等度连续, 结合 \(X\) 的紧性不难证明 \(\mathcal{G}\) 有界.
紧空间, 度量空间, 上确界拓扑
设 \(X\) 是紧空间, \((Y,d)\) 是度量空间, 赋予 \(C(X,Y)\) 上确界度量. 则对 \(C(X,Y)\) 的子集 \(\mathcal{F}\), 准紧\(\Leftrightarrow\)等度连续+逐点准紧 [3].
Proof.
必要性 设 \(\mathcal{F}\) 准紧, 记 \(\mathcal{G}=\overline{\mathcal{F}}\), 则 \(\mathcal{G}\) 紧\(\Rightarrow\) \(\mathcal{G}\)完全有界\(\Rightarrow\) \(\mathcal{F}\) 完全有界\(\Rightarrow\) \(\mathcal{F}\) 等度连续. 对任意 \(a\in X\), 记 \(\mathcal{G}_a=\{g(a):g\in\mathcal{G}\}\). 则 \(\mathcal{G}_a=\text{ev}_a(\mathcal{G})\) 是紧集 \(\mathcal{G}\) 在连续映射 \(\text{ev}_a:C(X,Y)\to Y\) 下的像, 从而是 Hausdorff 空间 \(Y\) 的紧子集, 因此 \(\mathcal{G}_a\) 在 \(Y\) 中闭, 有 \(\overline{\mathcal{F}_a}\subset \overline{\mathcal{G}_a}=\mathcal{G}_a\), 从而 \(\overline{\mathcal{F}_a}\) 是紧空间的闭子集, 故 \(\overline{\mathcal{F}_a}\) 紧.
充分性 设 \(\mathcal{F}\) 等度连续且逐点准紧, 往证 \(\overline{\mathcal{F}}\) 紧. 由于 \(B_d(f(x),\varepsilon)\) 是 \(Y\) 上的拓扑的基元素, 由积拓扑的定义知
\[ V_{f,(x_i,\varepsilon_i)_{1\le i\le n}}=\bigcap_{1\le i\le n}\pi_{x_i}^{-1}(B_d(f(x_i),\varepsilon_i)) \]是积空间 \(Y^X\) 上的拓扑的基元素 (即 \(Y^X\) 上点态收敛拓扑的基元素).
设 \(\mathcal{H}\) 是 \(\mathcal{F}\) 在积空间 \(Y^X\) 中的闭包. 对任意 \(a\in X\), 记 \(\mathcal{H}_a=\{h(a):h\in \mathcal{H}\}\). 对任意 \(a\in X\) 以及 \(\varepsilon>0\), 注意到 \(\forall h\in \mathcal{H}, V_{h,(a,\varepsilon)}\cap\mathcal{F}\neq\varnothing\), 存在 \(f\in\mathcal{F}\) 使得 \(f(a)\in B_d(h(a),\varepsilon)\), 因此 \(\mathcal{H}_a\subset \overline{\mathcal{F}_a}\).
因为每个 \(\overline{\mathcal{F}_a}\) 都是 \(Y\) 中紧集, 由 Tychonoff 定理, 积空间 \(\prod_{a\in X}\overline{\mathcal{F}_a}\) 是紧的, 即它是积空间 \(Y^X\) 的紧子空间. 又 Hausdorff 空间 \(Y\) 的积空间 \(Y^X\) 是 Hausdorff 的, 有 \(\prod_{a\in X}\overline{\mathcal{F}_a}\) 在 \(Y^X\) 中闭. 因此
\[ \mathcal{H}=\prod_{a\in X}\mathcal{H}_a\subset \prod_{a\in X}\overline{\mathcal{F}_a} \]是紧空间的闭子集, 从而 \(\mathcal{H}\) 作为 \(\prod_{a\in X}\overline{\mathcal{F}_a}\) 的子空间是紧的, 即 \(\mathcal{H}\) 作为积空间 \(Y^X\) 的子空间是紧的.
下证 \(\mathcal{H}\subset C(X,Y)\) 且 \(\mathcal{H}\) 等度连续. 任取 \(a\in X\) 以及 \(\varepsilon>0\), 由 \(\mathcal{F}\) 在 \(a\) 处等度连续知存在 \(a\) 的开邻域 \(U_a\) 使得 \(\forall f\in \mathcal{F},\forall x\in U_a,d(f(x),f(a))<\varepsilon/3\). 对任意 \(h\in\mathcal{H}\) 以及 \(x\in U_a\), 由于 \(V_h=V_{h,(x,\varepsilon/3)}\cap V_{h,(a,\varepsilon/3)}\) 是 \(h\) 的开邻域, 有 \(\mathcal{F}\cap V_h\neq\varnothing\), 即存在 \(f\in \mathcal{F}\) 使得 \(d(h(x),f(x))<\varepsilon/3,d(h(a),f(a))<\varepsilon/3\), 从而
\[ d(h(x),h(a))\le d(h(x),f(x))+d(f(x),f(a))+d(f(a),h(a))<\varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon \]因此 \(\mathcal{H}\subset C(X,Y)\) 且 \(\mathcal{H}\) 等度连续.
最后, 利用 \(\mathcal{H}\) 的等度连续性和 \(X\) 的紧性容易证明
\[ \text{($\mathcal{H}$ 作为积空间 $Y^X$ 的子空间)}=\text{($\mathcal{H}$ 作为 $C(X,Y)$ 的子空间)} \]特别地, \(\mathcal{H}\) 作为 Hausdorff 空间 \(C(X,Y)\) 的子空间是紧的, 从而也是闭的. 注意到集合之间的包含关系 \(\mathcal{F}\subset \mathcal{H}\), 两边在 \(C(X,Y)\) 中取闭包得
\[ \overline{\mathcal{F}}\subset \text{($\mathcal{H}$ 在 $C(X,Y)$ 中的闭包)}=\mathcal{H} \]从而 \(\overline{\mathcal{F}}\) 是紧空间 \(\mathcal{H}\) 的闭子集, 因此是紧的.
拓扑空间, 度量空间, 紧收敛拓扑
设 \(X\) 是拓扑空间, \((Y,d)\) 是度量空间, 赋予 \(C(X,Y)\) 紧收敛拓扑. 则对 \(C(X,Y)\) 的子集 \(\mathcal{F}\), 等度连续+逐点准紧\(\Rightarrow\)准紧. 若上述 \(X\) 是局部紧 Hausdorff 空间，则逆命题也成立.
[记为 \(\rho\), 即 \(\rho(f,g)=\sup\limits_{x\in X}d(f(x),g(x)),\forall f,g\in C(X,Y)\). 注意当 \(X\) 是紧空间时 \(C(X,Y)\) 上的一致度量 \(\overline{\rho}\) 正是上确界度量 \(\rho\) 对应的标准有界度量, 这是我们对一致度量采用记号 \(\overline{\rho}\) 的原因.] ↩︎
[即对任意 \(a\in X\), \(\mathcal{F}_a=\{f(a):f\in \mathcal{F}\}\) 在 \(Y\) 中有界.] ↩︎
[即对任意 \(a\in X\), \(\mathcal{F}_a=\{f(a):f\in \mathcal{F}\}\) 在 \(Y\) 中准紧.] ↩︎