数论
倍数问题
倍数问题一般都会想到取模。这里要找三个数的和是K的倍数，直接暴力肯定超时。注意到K的范围，最大取到1e3，可以用O(n^2)的算法。
要使得相加为K的倍数，只需要余数相加为K的倍数，所以可以预处理一下所有数模K的余数，因为题目问的是最大的和，所以要计算出K以内的余数对应的最大值，即mods[i]=max(v for v in arr if v%K==i)。
注意可能有多个数的余数相同，所以还要计算一下次大数和次次大数。
import sys; readline = sys.stdin.readline
read = lambda: [int(x) for x in readline().split()]
alloc = lambda *s: len(s) != 1 and [alloc(*s[1:]) for i in range(int(s[0]) + 2)] or [0] * int(s[0] + 2)
N, K = read()
arr = read()
mods1 = [-1] * (K + 1) # 最大数
mods2 = [-1] * (K + 1) # 次大数
mods3 = [-1] * (K + 1) # 次次大数
for v in arr:
x = v % K
if v >= mods1[x]:
mods3[x] = mods2[x]
mods2[x] = mods1[x]
mods1[x] = v
elif v >= mods2[x]:
mods3[x] = mods2[x]
mods2[x] = v
elif v >= mods3[x]:
mods3[x] = v
ans = 0
for i in range(K):
for j in range(K):
k = (K - i - j) % K
a = mods1[i]
b = mods2[j] if i == j else mods1[j]
if k == i and k == j:
c = mods3[k]
elif k == i or k == j:
c = mods2[k]
else:
c = mods1[k]
if a == -1 or b == -1 or c == -1: continue
if a + b + c > ans: ans = a + b + c
print(ans)
寻找整数
一眼看出是中国剩余定理，不过需要选出质数作为模数。
证明不用考虑非质数：
若x % a == b
对于非质数a，存在一个质数k，使得a == kt
x == am + b == k(tm) + b
x % k == b % k == b'
非质数的等式可以替换为质数的等式，故只需考虑质数
中国剩余定理：
$m_1, m_2, \dots, m_n$ 两两互质
$$
x \equiv a_1 (\mod m_1) \
x \equiv a_2 (\mod m_2) \
\vdots \
x \equiv a_n (\mod m_n) \
$$
x has a unique solution modulo m ($m = m_1m_2\dots m_n$)
$$
M_k = m / m_k \
M_ky_k \equiv 1(\mod m_k) \
x \equiv a_1M_1y_1 + a_2M_2y_2 + \dots + a_nM_ny_n(\mod m)
$$这里yk是Mk关于mk的逆元
求逆元：
Mk*yk % mk == 1推出Mk*yk + mk*k == 1
套用扩展欧几里得算法：yk, _ = exgcd(Mk, mk)
扩展欧几里得算法：
// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b) def exgcd(a, b): if b == 0: return 1, 0 y, x = exgcd(b, a % b) return x, y - a // b * x证明：
(a,b) == (b,a % b)
存在x和y使得ax + by == gcd(a, b) == d
存在n和m使得bn + (a%b)m == d
有bn + (a - a/b * b)m == am + b(n - a/b * m) == d
因此：
x == m
y == n - a/b * m
exgcd(b, a % b)这一递归调用即求出n和m，分别赋值给y和x
ps = {
2:1,
3:2,
5:4,
7:4,
11:0,
13:10,
17:0,
19:18,
23:15,
29:16,
31:27,
37:22,
41:1,
43:11,
47:5
}
# ax + by == gcd(a, b)
def exgcd(a, b):
if b == 0: return 1, 0
y, x = exgcd(b, a % b)
return x, y - a // b * x
M = 1
ans = 0
for k in ps: M *= k
for m, r in ps.items():
Mi = M // m
t, _ = exgcd(Mi, m) # t是Mi关于m的逆元
ans += r * Mi * t
print(ans % M)
质数判定
注意N最大可以取到1e16，所以不能使用筛质数的方法。
因为T最大取到1e5，因此如果对每个质数使用普通的质数判定方法（O(根号n)）会超时。
这里需要使用Miller Rabin算法判定质数（O(log^3(n))）
二次探测定理：
对于质数p，若x^2 = 1(mod p)，则小于p的解只有x1 = 1，x2 = p - 1
证明：
x ^ 2 - 1 = 0 (mod p)，=> (x - 1)(x + 1) = 0(mod p) => x = 1 或 x = p - 1
对于一个要判定的数p，把p - 1分解为u*2^t。我们随机选一个数a，计算a^u，将该数不断自乘，如果自乘后模p为1，根据二次探测定理，自乘前要么为1要么为p-1，自乘t次后，我们得到a^(p-1)，根据费马小定理，该数模p为1。
若p通过一次测试，则p不是素数的概率为25%
那么经过t轮测试,p不是素数的概率为(0.25)^t。这里进行10轮测试，几乎不会出错。
import sys
import random
def qpow(a, n, m):
res = 1
while n:
if n & 1: res = res * a % m
a = a * a % m
n >>= 1
return res % m
def MR(p):
if p == 1: return False
u = p - 1; t = 0
while u % 2 == 0:
u >>= 1
t += 1
for _ in range(10):
a = random.randint(0, 1 << 32) % (p - 1) + 1
v = qpow(a, u, p)
for _ in range(t):
o = v; v = v * v % p
if v == 1 and o != 1 and o != p - 1: return False
if v != 1: return False
return True
readline = sys.stdin.readline
T = int(readline())
for _ in range(T):
x = int(readline())
print(1 if MR(x) else 0)
最大比例
从等比数列中选出若干数，要求出可能的最大公比。根据题意，给定的数中可能有重复，需要去重。
等比数列中的数可以表示为a0*r**k[i]。
可以让所有数除以最小的一项，从而消掉a0。这里的除不是直接除，而是得到最简分数：ai / bi
做完这一步后，所有数可以表示为r**x[i]，这里的r不能再表示为某个数的幂。
要找到一个最大的公比，也就是要找到能够整除所有r**x[i]的最大的数。
r可以是一个分数，可以表示为p/q，ai / bi = r**x[i] = (p ** xi)/(q ** xi)。
因此答案就是p**gcd(x1,x2,...) / q**gcd(x1,x2,...)
这里要用辗转相减法进行如下推导：
f(p**x1, p**x2) = p**gcd(x1,x2) = a**gcd(x2, x1-x2) = f(p**x2, p**(x1-x2))
即：f(a1, a2) = f(a2, a1 // a2)
import sys; readline = sys.stdin.readline
read = lambda: [int(x) for x in readline().split()]
alloc = lambda *s: len(s) != 1 and [alloc(*s[1:]) for i in range(int(s[0]) + 2)] or [0] * int(s[0] + 2)
import math
read()
arr = read()
arr = sorted(list(set(arr)))
n = len(arr)
nu = []
de = []
for x in arr[1:]:
gcd = math.gcd(x, arr[0])
a = x // gcd
b = arr[0] // gcd
nu.append(a)
de.append(b)
def gcd_sub(a, b):
if a < b: return gcd_sub(b, a)
if b == 1: return a
return gcd_sub(b, a // b)
up = nu[0]; down = de[0]
for a, b in zip(nu[1:], de[1:]):
up = gcd_sub(up, a)
down = gcd_sub(down, b)
print('%d/%d' % (up, down))
序列求和
所有数都可以表示为p1 ^ n1 * p2 ^ n2 * ... ，pi为质数。
因此一个数的约数个数即为(n1 + 1) * (n2 + 1) * ...
若 S[i] == x ，则有x == p1 ^ n1 * p2 ^ n2 * ..，(n1 + 1) * (n2 + 1) * ... == i
因为i最大取到60，所以可以搜索i的所有乘积组合，求出每个组合对应的x，取最小值。
要搜索i的所有乘积组合，需要先对i 进行质数分解，因为i 最大为60，质因数不超过6个。然后就是一个dfs过程，枚举当前层的所有选法，然后把没选的传给下一层，所有数选完后计算一下x，为了让x尽量小，需要把较大的n分配给较小的p。
import sys; readline = sys.stdin.readline
read = lambda: [int(x) for x in readline().split()]
alloc = lambda *s: len(s) != 1 and [alloc(*s[1:]) for i in range(int(s[0]) + 2)] or [0] * int(s[0] + 2)
primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51]
def get(n):
i = 2
arr = []
while i <= n // i:
if n % i == 0:
while n % i == 0:
arr.append(i)
n //= i
i+=1
if n > 1: arr.append(n)
return arr
S = [float('inf')] * 61; S[0] = 0
cur = 0
def dfs(arr, nums): # dfs搜索所有乘积组合
n = len(arr)
if n == 0:
nums = sorted(nums, reverse=True)
prod = 1
for i, v in enumerate(nums):
prod *= primes[i] ** (v - 1)
S[cur] = min(S[cur], prod)
return
for i in range(1, 1 << n):
new_arr = []
num = 1
for j in range(n):
if i >> j & 1:
num *= arr[j]
else:
new_arr.append(arr[j])
dfs(new_arr, nums + [num])
for i in range(1, 61):
cur = i
dfs(get(i), [])
print(sum(S))