数学分析笔记【5】 数列极限

数列与数列极限的定义

定义5.1

称函数 \(f:\mathbb{N}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\) 为数列，写作小写字母与下标的形式，如

\[a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\leftrightarrow f(1),f(2),f(3),\cdots,f(n) \]

我们约定用 \(\{a_n\}\) 表示由数列 \(a_n\) 组成的集合. 称 \(a_n\) 为数列的通项。

定义5.2

对于数列 \(a_n\) ，若 \(\forall\varepsilon>0\) ， $\exists N\in\mathbb{N} $ ，使得 \(\forall n>N\) ，都有 \(|a_n-A|<\varepsilon\) ，则称 \(a_n\) 趋向于 \(A\) .记作 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A\) .

特别的，若 \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}a_n=0\) 则称 \(a_n\) 为无穷小数列。有了极限的定义，我们就可以相应地给出数列极限不为 \(A\) 的定义

定义5.3

设数列 \(a_n\) ，有 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\ne A\) 当且仅当 \(\exists \varepsilon>0,\forall N\in\mathbb{N}\) ，都 \(\exists n>N\) ，使得 \(|a_n-A|\ge\varepsilon\) .

一般地，可以给出数列发散的定义

定义5.4

数列 \(a_n\) 发散当且仅当 \(\forall x\in\mathbb{R},\exists\varepsilon>0\) ，使得任取 \(N\in\mathbb{N}\) ，总是存在相应 \(n>N\) ，使得 \(|a_n-x|\ge \varepsilon\) .

特别的，我们可以定义无穷大数列

定义5.5

对于数列 \(a_n\) ，如果 \(\forall G>0\) ，都 \(\exists N>0\) ，使得 \(\forall n>N\) ，都有 \(a_n>G\) (\(a_n<-G\)) ，那么称这个数列趋向于正无穷(负无穷)。记为 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty\)

(\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}=-\infty\)).

若 \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty }a_n=+\infty\) ，则称 \(a_n\) 为无穷大数列。

数列极限的性质

首先，数列的极限若存在便唯一

定理5.1

若数列 \(a_n\) 极限为 \(A\) ，则对于任意 \(B\ne A\) ，都有 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\ne B\) .

证明：取 \(\varepsilon=\frac{1}{2}|A-B|\) ，则存在 \(N_1\in\mathbb{N}\) ，使得 \(\forall n>N_1\) 都有 \(|a_n-A|<\varepsilon\)

此时有 \(|a_n-B|\ge|A-B|-|a_n-A|\ge\varepsilon\) ，即 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\ne B\) 。 \(\Box\)

数列极限存在还可以推出数列的有界性

定理5.2

若 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A\) 则存在 \(M>0\) 使得 \(|a_n|<M\) .

证明：由定义知存在一个正整数 \(N\) ，使得 \(\forall n >N\) ，都有

\[A-1<a_n<A+1 \]

令

\[M=\max\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_N,A+1\} \]

即满足条件。 \(\Box\)

进一步的，有保号性

定理5.3

若 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A>0\) ，则存在一个正整数 \(N\) ，使得 \(\forall n>N\) ，都有 \(a_n>0\) .

证明：令 \(\varepsilon=A\) ，存在 \(N\) 使得 \(\forall n>N\) ，都有 \(a_n>A-\varepsilon=0\) . \(\Box\)

以及保不等式性

定理5.4

设数列 \(a_n,b_n\) 的极限都存在且在 \(n\) 大于某个正数 $N_0 $ 时，都有 \(a_n\le b_n\) ，则可以得到 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\le\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\) .

证明：设 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=B\) ，用反证法，假设 \(A>B\) . 令 \(\varepsilon=\frac{A-B}{2}\) ，那么存在 \(N_1>0\) ，使得任意 \(n>N_1\) ，都有 \(a_n>A-\varepsilon\) ，存在 \(N_2>0\) ，对任意的 \(n>N_2\) ，都有 \(b_n<B+\varepsilon\) .联立不等式，得到

\[a_n>A-\varepsilon=B+\varepsilon>b_n \]

与条件矛盾。故 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\le\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\) . \(\Box\)

利用保不等式性，可以得到数列极限的迫敛性

定理5.5

设数列 \(a_n,b_n,c_n\) 的极限都存在且 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_n\) ，且 \(n\) 大于某个正数 \(N_0\) 时，都有 \(a_n\le b_n\le c_n\) ，则有 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\) .

证明：设 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_n=L\) . 由保不等式性得

\[\begin{aligned} L\le\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\\ \lim_{n\rightarrow\infty}b_n\le L \end{aligned} \]

于是得到 \(L=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\) . \(\Box\)

最后我们来推导数列极限的四则运算

定理5.6

设数列 \(a_n,b_n\) 极限存在，则

\[\begin{aligned} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)&=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)&=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_nb_n)&=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}&=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n} \qquad (b_n\ne0,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\ne0) \end{aligned} \]

证明：设 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=B\) 。对于加减法只证明加法。由定义，任取 \(\varepsilon>0\) ，都有 \(N_1,N_2>0\) ，使得任意的 \(n>N_1\) ，有 \(|a_n-A|<\varepsilon\) ，任意的 \(n>N_2\) ，有 \(|b_n-B|<\varepsilon\) 。令 \(N=\max\{N_1,N_2\}\) ，对任意的 \(n>N\) ，都有

\[(a_n+b_n)-(A+B)\le|a_n-A|+|b_n-B|<2\varepsilon \]

由 \(\varepsilon\) 的任意性得 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\) ；

对于乘法，

\[\begin{aligned} |a_nb_n-AB|&=|a_nb_n+Ab_n-Ab_n-AB|\\ &=|(a_n-A)b_n+A(b_n-B)|\\ &\le|a_n-A||b_n|+|A||b_n-B| \end{aligned} \]

对任意的 \(\varepsilon>0\) ，存在 \(N_1,N_2>0\) ，使得 \(n\) 大于 \(N_1,N_2\) 时，分别有 \(|a_n-A|<\varepsilon\) ,$ |b_n-B|<\varepsilon$ . 且由有界性知存在常量 \(M\) 使得 \(b_n<M\) .故当 \(n>\max\{N_1,N_2\}\) 时有 \(|a_nb_n-AB|<(M+A)\varepsilon\) ，由 $\varepsilon $ 的任意性得到

\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_nb_n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\) .

对于除法，只需证明

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n}=\frac{1}{B} \]

其中 \(b_n\ne0,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\ne0\) . 由定义知对于任意 \(\varepsilon>0\) ，存在 \(N>0\) ，使得对于任意的 \(n>N\) 都有 \(|b_n-B|<\varepsilon\) .由保号性知存在常数 \(M>0\) ，在 \(n>N_0\) 时，满足 \(|b_n|>M>0\) ，其中 \(N_0\) 是一个常数.于是得到此时

\[\begin{aligned} \left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{B}\right|&=\frac{|b_n-B|}{|Bb_n|}\\ &\le\frac{\varepsilon}{|BM|} \end{aligned} \]

由 \(\varepsilon\) 的任意性知结论成立。 \(\Box\)

最后，我们来研究数列的子列。

定义5.6

对于数列 \(a_n\) ，选取一个正整数数列 \(n_k\) ，且这个数列是严格单调增的，即

\[\forall k_1,k_2\in\mathbb{N}^{+},k_1>k_2\rightarrow n_{k_1}>n_{k_2} \]

则称数列 \(a_{n_k}\) 为数列 \(a_n\) 的一个子列。

现在我们可以研究数列极限与数列的子列之间的关系

定理5.7

数列收敛的充分必要条件是任何数列的子列都收敛。

证明：设数列 \(a_n\) 收敛于 \(A\) . 显然 \(a_n\) 为自己的一个子列，故充分性成立。下面证明必要性。对于任意的 \(\varepsilon>0\) ，都有正整数 \(N\) ，使得任意的 \(n>N\) ，都满足 \(|a_n-A|<\varepsilon\) .显然 \(n_N\ge N\) . 故对于子列 \(a_{n_k}\) ，当 \(k>N\) 时，都有 \(|a_{n_k}-A|<\varepsilon\) ，即子列 \(a_{n_k}\) 必收敛。 \(\Box\)