最短路算法
最短路算法分为两大类：
1.单源最短路，常用算法有：
(1) dijkstra，只有所有边的权值为正时才可以使用。在稠密图上的时间复杂度是 O(n2)，稀疏图上的时间复杂度是 O(mlogn)。
(2) spfa，不论边权是正的还是负的，都可以做。算法平均时间复杂度是 O(km)，k 是常数。 强烈推荐该算法。
2.多源最短路，一般用floyd算法。代码很短，三重循环，时间复杂度是 O(n3)。
算法模板
我们以 poj2387 Til the Cows Come Home 题目为例，给出上述所有算法的模板。
题目大意
给一张无向图，n 个点 m 条边，求从1号点到 n 号点的最短路径。
输入中可能包含重边。
dijkstra算法 O(n2)
最裸的dijkstra算法，不用堆优化。每次暴力循环找距离最近的点。
只能处理边权为正数的问题。
图用邻接矩阵存储。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 2000010, INF = 1000000000;
int n, m;
int g[N][N], dist[N]; // g[][]存储图的邻接矩阵, dist[]表示每个点到起点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
void dijkstra()
{
for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = INF;
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int id, mind = INF;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && dist[j] < mind)
{
mind = dist[j];
id = j;
}
st[id] = 1;
for (int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], dist[id] + g[id][j]);
}
}
int main()
{
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
g[i][j] = INF;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
dijkstra();
cout << dist[n] << endl;
return 0;
}
dijkstra+heap优化 O(mlogn)
用堆维护所有点到起点的距离。时间复杂度是 O(mlogn)。
这里我们可以手写堆，可以支持对堆中元素的修改操作，堆中元素个数不会超过 n。也可以直接使用STL中的priority_queue，但不能支持对堆中元素的修改，不过我们可以将所有修改过的点直接插入堆中，堆中会有重复元素，但堆中元素总数不会大于 m。
只能处理边权为正数的问题。
图用邻接表存储。
typedef pair<int, int> PII;
int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
heap.push({0, 1}); // first存储距离，second存储节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
spfa算法 O(km)
bellman-ford算法的优化版本，可以处理存在负边权的最短路问题。
最坏情况下的时间复杂度是 O(nm)，但实践证明spfa算法的运行效率非常高，期望运行时间是 O(km)，其中 k 是常数。
但需要注意的是，在网格图中，spfa算法的效率比较低，如果边权为正，则尽量使用 dijkstra 算法。如果说dijkstra是步步回头找最小，那么SPFA就是一点一圈扩散去。每到一个点，就直接枚举和它相连的所有边和点，如果走这条路可以更近，那么就更新那个点的dist。如果那个点不在即将更新的队列里，那就放进去。也就是十分类似于BFS的一种做法。在这种做法下，每个点可能被放进队列多次，但是都是带着更新前面的点的dist 的可能进去的。
图采用邻接表存储。
队列为手写的循环队列。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 2000010, INF = 1000000000;
int n, m;
int dist[N], q[N]; // dist表示每个点到起点的距离, q 是队列
int h[N], e[M], v[M], ne[M], idx; // 邻接表
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, v[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
void spfa()
{
int hh = 0, tt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = INF;
dist[1] = 0;
q[tt++] = 1, st[1] = 1;
while (hh != tt)
{
int t = q[hh++];
st[t] = 0;
if (hh == n) hh = 0;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
if (dist[e[i]] > dist[t] + v[i])
{
dist[e[i]] = dist[t] + v[i];
if (!st[e[i]])
{
st[e[i]] = 1;
q[tt++] = e[i];
if (tt == n) tt = 0;
}
}
}
}
int main()
{
memset(h, -1, sizeof h);
cin >> m >> n;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c);
add(b, a, c);
}
spfa();
cout << dist[n] << endl;
return 0;
}
用spfa判断是否有负环：
bool spfa()//返回true有负环
{
queue<int> q;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
q.push(i);
fl[i] = 1;
}
while(q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();
fl[t] = 0;
for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if(dist[j] > dist[t] + w[i])//dist数组值为0只有遇到负数才会更新
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if(cnt[j] >= n) return true;
if(!fl[j])
{
fl[j] = 1;
q.push(j);
}
}
}
}
return false;
}
dijkstra与SPFA这两种算法的核心都是找到另一条路来更新当前的最短路，但是实现方法不大一样。某种程度上说，dijkstra因为即使是堆优化，优先队列的常数也是很大的，而SPFA在稀疏图下步步发散就可以跑得很快，所以有时SPFA可以比Dijkstra快很多，算法的复杂度可以达到O(km)【k为常数】的级别。但是如果是稠密图的话，SPFA也可以退化到O(nm)。所以两种算法也是各有优势，才能一起存活下来。当然，SPFA也是可以用优先队列优化队列的，实现方法最后就和Dijkstra一样了。
floyd算法 O(n3)
标准弗洛伊德算法，三重循环。循环结束之后 d[i][j] 存储的就是点 i 到点 j 的最短距离。
需要注意循环顺序不能变：第一层枚举中间点，第二层和第三层枚举起点和终点。
由于这道题目的数据范围较大，点数最多有1000个，因此floyd算法会超时。
但我们的目的是给出算法模板哦~
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 2000010, INF = 1000000000;
int n, m;
int d[N][N]; // 存储两点之间的最短距离
int main()
{
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
d[i][j] = i == j ? 0 : INF;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
d[a][b] = d[b][a] = min(c, d[a][b]);
}
// floyd 算法核心
for (int k = 1; k <= n; k++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
cout << d[1][n] << endl;
return 0;
}
标签：存储,dist,int,短路,dijkstra,算法,include From： https://www.cnblogs.com/lys-blogs123/p/17056148.html