§1 引入

• 机器人不确定性的来源

  • 环境
  • 传感器
  • 执行器
  • 模型
  • 计算误差

• 机器人范式

  graph LR A(基于模型) B(条件-反应) C(混合范式) A-->C B-->C D(概率范式) A-.->|不确定的模型|D B-.->|不确定的感知|D

§2 状态回环估计

1 概率论基础概念

• 随机变量及其观测值

• 概率以及概率密度函数（Probability Density Function, PDF）

  • 常见的多维正态分布
    \[p(x) = \det(2\pi\Sigma)^{-\frac{1}{2}}\exp{\{-\frac{1}{2}(x-\mu)\Sigma^{-1}(x-\mu)\}} \]
    其中\(\Sigma\)是协方差矩阵，半正定且对称。

• 联合分布（Joint Distrubution）：记作\(p(x,y)=p(X=x\ \text{and}\ Y=y)\)

  • 独立：\(p(x, y)=p(x)p(y)\)

• 条件概率（Conditional Probability）：\(p(x\mid y) = \frac{p(x, y)}{p(y)}\)

  • 条件独立：\(p(x,y\mid z)=p(x\mid z)p(y\mid z)\)，与独立不能相互推导

• 全概率定理（Theorem of Total Probability）：即所有情况的概率的和（积分）为1。

• 贝叶斯准则（Bayes Rule）：\(p(x\mid y) = \frac{p(y\mid x)p(x)}{p(y)}\)

  • \(Y\)当做实际值，\(X\)当做测量值，则\(p(x\mid y)\)被称为生成式模型（Generative Model），且因为一般\(p(y)\)与\(x\)无关，分母一般都写作归一化因子\(\eta\)，即\(p(x \mid y)=\eta p(y\mid x)p(x)\)

• 期望

  \[\begin{aligned} &E[X]=\sum_{x} x p(x) \quad \text { (discrete) } \\ &E[X]=\int x p(x) d x \quad \text { (continuous) } \end{aligned} \]

• 方差

  \[\mathrm{Cov}[X]=E[X-E[X]]^2=E[X^2]-E[X]^2 \]

• 熵：随机变量\(X\)包含的以比特为单位的信息的期望

  \[H_p(x)=E[-\log_2p(x)] \]

2 机器人与环境的交互

• 状态：本书中以\(x\)表示，下标表示是某一时刻的状态。

  • 概念-完全状态（Complete State）：一组最能够预测未来状态的状态

  • 以下是一些最常用的的例子：

    • 机器人姿态：三个空间坐标，三个朝向坐标

    • 执行器的配置：关节角度等

    • 动态状态：执行器的运动情况等

    • 周遭物体的位置及特征

    • 周遭物体的运动

• 与环境的交互

  • 感知：得到的数据用\(z\)表示，感知可以增加系统对外界的认识。

    • 测量概率（Measurement Probability）：\(p(z_t\mid x_t)\)

  • 控制：得到的数据用\(u\)表示，控制倾向于减少系统对外界的认识。

    • 状态转移概率（State Transition Probability）：\(p(x_t\mid x_{t-1}, u_t)\)

  • 状态估计（Belief）：机器人根据其感知与控制数据而对状态概率分布做出的估计，记号如下

    \[\operatorname{bel}(x_t)=p(x_t\mid z_{1:t},u_{1:t})\\ \overline{\operatorname{bel}}(x_t)=p(x_t\mid z_{1:t-1},u_{1:t}) \]

  3 贝叶斯滤波器

• 贝叶斯滤波器

  • 前提

    • \(x_t\)是完全状态
    • 控制量\(u\)是随机给定的

    那么直觉上讲贝叶斯滤波器给出的估计（belief）是很好的。

  • 内容

    \[\begin{aligned} &\overline{\operatorname{bel}}\left(x_{t}\right)=\int p\left(x_{t} \mid u_{t}, x_{t-1}\right) \text {bel}\left(x_{t-1}\right) \mathrm d x_{t-1} \\ &\operatorname{bel}\left(x_{t}\right)=\eta p\left(z_{t} \mid x_{t}\right) \overline{\operatorname{bel}}\left(x_{t}\right) \end{aligned} \]
    • 输入：\(\operatorname{bel}(x_{t-1}), u_t, z_t\)
    • 输出：\(\operatorname{bel}(x_t)\)
    • 第一步称为预测（prediction）。在\(u\)随机的条件下，该式等价于\(p(y)=p(y\mid x)p(x)\)
    • 第二步称为测量更新（measurement update），是贝叶斯准则的应用。

• 马尔科夫假设：在当下状态已知的条件下，现在和过去的数据是相互独立的。如果在实际中应用贝叶斯滤波器，则由于以下一些原因，这一假设并不总能成立：

  • 未被模型考虑在内的环境变量
  • 假设的概率模型与实际概率模型的误差
  • 计算时使用的近似方法带来的误差
  • 实际过程中的控制量并不随机

课后习题总结

对于随机变量取值离散且有限的情况

• 使用状态转移矩阵来描述会很方便
• 有的马尔可夫过程具有与初始状态无关的稳态分布
• 结合使用贝叶斯准则、\(p(A)=\sum\limits_ip(A\mid B_i)p(B_i)\)等公式，并尝试提取形式相同的部分，可以通过迭代法得到一些隐藏的随机变量之间的关系