概率 统计 期望\(note\)

·广义加法公式：\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)

应用了容斥原理。

·条件概率和乘法公式：\(P(B|A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

就是这个等式的变形

·全概率公式：\(P(B)= \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P(B|A_i)\)

应用了条件概率公式，意义就是\(B\)的概率是所有事件中每个事件发生的前提下再发生\(B\)的概率之和，就是$$P(B)= \sum_{i=1}^{n} P(B \cap A_i)$$,所以前提是\(\forall i,j,A_i \cap A_j= \oslash\)且\(\sum_{i=1}^{n} A_i=1\)，即所有随机事件的概率之和为\(1\)。

·贝叶斯定理：\(P(B_i|A)=\frac{P(B_i) \times P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j) \times P(A|B_j)}\)

也是条件概率公式的应用，即\(P(B_i|A)=\frac{P(B_i \cap A) }{\sum_{j=1}^{n}P(B_j \cap A)}\)

首先可以推导出这样的公式(条件概率公式)：\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

即\(P(A\cap B)=P(A|B) \times P(B)=P(B|A) \times P(A)\)

等式变形得\(P(B|A)=\frac{P(A|B) \times P(B)}{P(A)}\)(初步的贝叶斯公式)

分子就是\(P(A\cap B)\)

运用全概率公式对分母进行代换\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\cap B_i)\)

将整个事件\(B\)拆作随机事件\(\sum_{i=1}^{n}B_i=1\)，然后对于每一个\(B_i\)进行操作

有\(P(B_i)=\frac{P(A|B_i) \times P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A\cap B_j)}\)

得到贝叶斯定理。

·期望：\(E(X)=\sum_{\alpha}^{\alpha\in I(X)}\alpha \times P(X=\alpha)\)

就是一个事件发生的结果\(\times\)该事件中所有结果分别具有的概率,\(I(X)\)表示\(X\)的值域