[概率论与数理统计]笔记：1.3 古典概型与几何概型

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1.3 古典概型与几何概型

古典概型

特点

1. 基本事件有限
2. 等可能性

计算

\[P(A)=\frac{A中元素个数}{\Omega中元素个数}=\frac{使A发生的基本事件数}{\Omega中样本点总数} \]

计算古典概型的概率的重点在于计算基本事件数，相关知识点是排列组合。

• 加法原理：多个方案
• 乘法原理：分步骤

排列

不重复排列

从\(n\)个不同元素中有顺序的取出\(m\)个（取出某元素后不能再取该元素）：

\[P_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} \]

排列的字母可以用 \(A\) 也可以用 \(P\)

重复排列

从\(n\)个不同元素中有顺序的取出\(m\)个（取出某元素后可以再取该元素，比如箱子取球，取完又放回去）：

\[n\times n\times \cdots\times n=n^m \]

组合

从\(n\)个不同元素中无顺序的取出\(m\)个：

\[C_n^m=\frac{P_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

重要公式

• \(C_n^m=C_n^{n-m}\)
• \(C_n^0=C_n^n=1\)

几何概型

特点

1. 基本事件无限
2. 等可能性

几何概型的等可能性表现为：在几何区域中，测度相等的事件发生的概率相等。需要注意的是测度不能为0。

计算

\[P(A)=\frac{\mu(G)}{\mu(\Omega)} \]

几何概型的计算过程重点在于计算测度。

相关知识点：常用面积公式，体积公式，微积分等。

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社

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