PART 1 傅里叶级数与傅里叶变换
1. 傅里叶级数
1.1 周期函数的傅里叶级数
按照《微积分》课程知识，傅里叶级数有两种表现形式：三角形式和复数形式。复数形式在工程和计算机处理上更为常用，但是三角形式是推出复数形式的一个阶段。
1.1.1 三角形式的傅里叶级数
对一个定义在 \(\left[-l, l\right]\) 的周期函数\(f(t)\)，周期为 \(T_1\) ，假设其满足迪利克雷条件，则可以展开成傅里叶三角级数：
\[\begin{equation} f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n \omega_1 t) + b_n \sin(n \omega_1 t) \right] \end{equation} \]其中，\(f(t)\) 角频率满足
\[\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{\pi}{l} = 2 \pi f_1 \]\(\frac{a_0}{2}\) 表示直流分量，\(a_n\)\(，b_n\) 为各项系数，满足
\[\begin{equation} \begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{2l} \left.\int_{-l}^{l} \right. f(t) dt = \frac{1}{T_1} \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t)dt \\ a_n &= \frac{1}{l} \left.\int_{-l}^{l} \right. f(t) \cos (n \omega_1 t)dt \\ & = \frac{2}{T_1} \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) \cos (n \omega_1 t)dt \\ b_n &= \frac{1}{l} \left.\int_{-l}^{l} \right. f(t) \sin (n \omega_1 t)dt \\ & = \frac{2}{T_1} \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) \sin (n \omega_1 t)dt \end{aligned} \end{equation} \]可以看出，\(a_0\) 是 \(f(t)\) 的平均值，而 \(a_n\)\(，b_n\) 是关于 \(n \omega_1\) 的函数。
然而，式（1）这样的表述并不是十分简洁，根据三角函数之间的关系，可以把 sin 化成 cos，即为
\[\begin{equation} f(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cos(n \omega_1 t + \phi_n) \end{equation} \]其中，由待定系数法，可得
\[c_0= a_0, \quad c_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}, \quad \phi_n = \arctan {-\frac{b_n}{a_n}} \]式 (1) 和式 (3) 都是三角形式的傅里叶级数，它们共同表现出一个特点：满足迪利克雷条件的周期函数，可以表示成一个直流分量以及无穷项三角正余弦函数之和。各项三角函数之前的系数都是 \(n \omega_1\) 的函数，表示出各频率分量的相对大小。这些系数其实就是幅频特性曲线的取值，只不过是离散的。
1.1.2 复数形式的傅里叶级数
将三角函数变换为指数形式，自然离不开欧拉公式。
\[e^{j\phi} = \cos\phi + j \sin\phi \]可以推导出：
\[\cos\phi = \frac{e^{j\phi}+e^{-j\phi}}{2} \]\[\sin\phi = \frac{e^{j\phi}-e^{-j\phi}}{2j} \]由此，对式 (1) ，有：
\[\begin{equation} \begin{aligned} f(t) &= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n \omega_1 t) + b_n \sin(n \omega_1 t) \right] \\ &= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \frac{e^{j n \omega_1 t}+e^{-j n \omega_1 t}}{2} + b_n \frac{e^{j n \omega_1 t}-e^{-j n \omega_1 t}}{2j} \right) \\ &= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_n-jb_n}{2} e^{j n \omega_1 t} + \frac{a_n+jb_n}{2} e^{-j n \omega_1 t}\right ) \end{aligned} \end{equation} \]针对其中的系数，有
\[\begin{equation*} \begin{aligned} c_0 = a_0 = \frac{1}{T_1} \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t)dt = \frac{1}{T_1} \left[\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} f(t) e^{-j\cdot 0\cdot \omega_1}dt\right] \end{aligned} \end{equation*} \]\[\begin{equation*} \begin{aligned} c_n = \frac{a_n-jb_n}{2} &= \frac{1}{2} \left[\frac{2}{T_1} \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) \cos (n \omega_1 t)dt -j\frac{2}{T_1} \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) \sin (n \omega_1 t)dt \right] \\ &= \frac{1}{T_1} \left[ \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) e^{-jn\omega_1 t} dt\right] \end{aligned} \end{equation*} \]\[\begin{equation*} \begin{aligned} c_{-n} = \frac{a_n+jb_n}{2} &= \frac{1}{2} \left[\frac{2}{T_1} \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) \cos (n \omega_1 t)dt +j\frac{2}{T_1} \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) \sin (n \omega_1 t)dt \right] \\ &= \frac{1}{T_1} \left[ \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) e^{jn\omega_1 t} dt\right] \end{aligned} \end{equation*} \]这样，式(9)就可以表示为：
\[\begin{equation} \begin{aligned} f(t) &= c_0e^{j\cdot 0 \cdot \omega_1t} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( c_n e^{j n \omega_1 t} +c_{-n}e^{j -n \omega_1 t}\right ) \end{aligned} \end{equation} \]看出，n 的取值是从负无穷到正无穷的整数，所以统一取做：
\[\begin{equation} \begin{aligned} c_n &=\frac{a_n-jb_n}{2} = \frac{1}{T_1} \left[ \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) e^{-jn\omega_1 t} dt\right] \quad n = 0, \pm1, \pm2, \cdots \end{aligned} \end{equation} \]更进一步，由于 \(c_n\) 是关于 \(n\omega_1\) 的函数，表示成函数的形式并且带入到(9)式中，由此，我们可以得到傅里叶级数的复数形式：
\[\begin{equation} \begin{aligned} f(t) &= \sum_{-\infty}^{\infty} F(n\omega_1) e^{jn\omega_1 t} \\ F(n\omega_1) &=\frac{1}{T_1} \left[ \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) e^{-jn\omega_1 t} dt\right] \quad n = 0, \pm1, \pm2, \cdots \end{aligned} \end{equation} \]这个公式是非常重要的公式，首先，它表明了对于一个周期信号，可以分解为基波和若干个谐波的加和，每个谐波所占的相对比重由系数决定；其次，这里出现的负号，只是数学意义上的负号，由欧拉变化产生，不具有物理意义，频率总是正数；最后，连续周期函数具有离散的频谱。
我们可以通过程序验证其正确性。[附录Ⅰ]
1.2 非周期函数的傅里叶级数
上面对于傅里叶级数的定义，有一个前提条件：周期函数、满足迪利克雷条件。二者是展开成傅里叶级数的前提，必不可少。一般很少见到不满足迪利克雷条件的函数，因此考虑周期函数的条件。
对于非周期函数，是否可以求得傅里叶级数？答案是否定的。但是，如果做一些转变，就可以。
这里所谓的转变，主要有两条：
- 进行周期延拓
- 做傅里叶变换
1.2.1 非周期函数的周期延拓
将非周期函数延拓为周期函数，就可以进行傅里叶指数展开。延拓的实质是补充定义域，具体而言有奇延拓和偶延拓。
奇延拓即将原来的非周期函数补充定义域为奇函数，关于原点对称；偶延拓即将原来的非周期函数补充定义为偶函数关于 y 轴对称。展开后，即可按照周期函数的方式处理。
1.2.2 傅里叶变换
傅里叶变换由傅里叶指数衍生而来，放在下一部分详细说明。
2. 傅里叶变换
在上面的叙述中，谈及对于非周期函数的傅里叶级数有两种处理办法。显然进行周期延拓不是很好的选择，毕竟对于一个已知信号，进行负半轴的延拓不具有物理意义。所以，引入傅里叶变换。
对于一个非周期函数，其实可以看做是一个周期为无穷大的周期函数。
因此，我们来看当周期T趋于无穷大时，傅里叶级数会发生怎样的变化：
2.1 傅里叶变换
已知傅里叶级数：
\[\begin{equation} \begin{aligned} f(t) &= \sum_{-\infty}^{\infty} F(n\omega_1) e^{jn\omega_1 t} \\ F(n\omega_1) &=\frac{1}{T_1} \left[ \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) e^{-jn\omega_1 t} dt\right] \quad n = 0, \pm1, \pm2, \cdots \end{aligned} \end{equation} \]当周期 \(T_1\rightarrow \infty\) 时，有 \(\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} \rightarrow 0\)， 因此原先离散的 \(n\omega_1\) 趋于连续的 \(\omega\)
首先看(13)式中系数的变换，有：
\[\begin{equation} \begin{aligned} F(n\omega_1)\times T_1 =\frac{F(n\omega_1)\times 2\pi}{\omega_1} = \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) e^{-jn\omega_1 t} dt \end{aligned} \end{equation} \]此时，由于 \(T_1\rightarrow \infty\) ，\(F(n\omega_1)\rightarrow 0\)，\(\omega_1 \rightarrow 0\) ，故分式为 0 除 0，从数学上看不知其是无穷还是0还是有限值，但是结合物理意义，为有限值(这里有数学证明，但是对于工程的角度，没有必要太过关注），定义 \(F(\omega)\)
\[\begin{equation} \begin{aligned} F(\omega) &= \lim_{T_1\rightarrow\infty} F(n\omega_1)\times T_1 =\lim_{\omega_1\rightarrow0} \frac{F(n\omega_1)\times 2\pi}{\omega_1} \\ &= \left.\int_{-\infty}^{\infty} \right. f(t) e^{-j\omega t} dt \end{aligned} \end{equation} \]将其定义为傅里叶变换
此时，由于 \(\omega_1 = \Delta(n\omega_1)\) ，(13) 式应当变为：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} f(t) &= \sum_{-\infty}^{\infty} F(n\omega_1) e^{jn\omega_1 t} \\ &= \sum_{-\infty}^{\infty} \frac{F(n\omega_1)}{\omega_1} e^{jn\omega_1 t} \Delta(n\omega_1)\\ \end{aligned} \end{equation*} \]在 \(T_1\rightarrow \infty\) ，\(F(n\omega_1)\rightarrow 0\)，\(\omega_1 \rightarrow 0\) 的情况下，有：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} n\omega_1 &\rightarrow \omega\\ \frac{F(n\omega_1)}{\omega_1} &\rightarrow \frac{F(\omega)}{2\pi} \\ \Delta(n\omega_1) &\rightarrow d\omega \\ \sum_{-\infty}^{\infty} &\rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \end{aligned} \end{equation*} \]此时，\(f(t)\) 为：
\[\begin{equation} \begin{aligned} f(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega \end{aligned} \end{equation} \]将式 (16) 定义为傅里叶逆变换
我们将式 (15) 和式 (16) 写在一起：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} F(\omega) &= \left.\int_{-\infty}^{\infty} \right. f(t) e^{-j\omega t} dt \\ f(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega \end{aligned} \end{equation*} \]可以发现：非周期函数的傅里叶变换为连续频谱
这里我们可以看出，傅里叶指数是针对周期函数的说法，傅里叶变换是针对非周期函数的说法
程序实现：[附录Ⅰ]
2.2 傅里叶变换的几种写法
第一种：以 \(\omega\) 为频域变量：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} F(\omega) &= \left.\int_{-\infty}^{\infty} \right. f(t) e^{-j\omega t} dt \\ f(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega \end{aligned} \end{equation*} \]第二种：以 \(f\) 为频域变量：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} F(f) &= \left.\int_{-\infty}^{\infty} \right. x(t) e^{-j2\pi f t} dt \\ x(f) &= \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j2\pi f t} df \end{aligned} \end{equation*} \]2.3 几点注解
- 在傅里叶变换中，会出现频率为负的情况。这一点是由于在进行指数表示的时候，sin函数自然而然的引入了负频率。负频率只是数学上的概念，没有具体的物理概念。
- 在T趋向于无穷的时候，(14) 式整体趋于零吗？答案是否定的。从物理角度来看，无论一个信号怎样分解，其分量都不会变成0；从数学角度分析，这是一种0比0型的不定式，不能直接下结论。
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