PART 2 离散傅里叶变换
1. 离散时间傅里叶变换
以上内容，属于对傅里叶变换较为基础的数学内容，在《微积分》等课程中有不少详尽的介绍。接下来，将会面对如何在计算机中实现傅里叶变换的问题。
首先，观察傅里叶变换公式：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} F(\omega) &= \left.\int_{-\infty}^{\infty} \right. f(t) e^{-j\omega t} dt \\ f(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega \end{aligned} \end{equation*} \]有这么几个问题：
- 在时域上，是负无穷到正无穷的积分，显然在计算机上无法做到；
- 在频域上，也是负无穷到正无穷的积分，显然在计算机上也无法做到；
- 原函数 \(f(t)\) 是连续非周期函数，“连续”这个条件在计算机上没法实现。
因此，需要对傅里叶变换进行离散化，从而更好的在计算机上实现相关功能。
首先，我们引入离散时间傅里叶变换。
1.1 离散时间傅里叶变换
为了解决上面提出的第三个问题，自然而然地引入采样的概念。通过采样，将原来的连续信号转变为离散信号，就可以作为计算机的输入了。
沿用之间的假设：对原信号做采样处理
\[f^*(t) = \sum _{n=-\infty}^{\infty}f(t)\cdot \delta(t-nT_s) \]其中，\(f^*(t)\) 是采样后的信号序列；\(\delta(t-nT_s)\) 为狄克拉函数，\(nT_s\) 是采样的时刻， \(T_s\) 是采样时间间隔，其倒数 \(f_s = \frac{1}{T_s}\) 表示采样频率。假设这满足香农采样定律，\(f_s \ge 2f_{max}\)
将采样信号带入傅里叶变换中去：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} F(\omega) &= \left.\int_{-\infty}^{\infty} \right. f^*(t) e^{-j\omega t} dt \\ & = \left.\int_{-\infty}^{\infty} \right. \sum _{n=-\infty}^{\infty}f(t)\cdot \delta(t-nT_s)e^{-j\omega t} dt \\ &= \sum _{n=-\infty}^{\infty} \left.\int_{-\infty}^{\infty} \right.f(t)e^{-j\omega t}\cdot \delta(t-nT_s)dt \end{aligned} \end{equation*} \]根据狄克拉函数的筛选性质：
\[\begin{equation} \begin{aligned} F(\omega) &= \sum _{n=-\infty}^{\infty} \left.\int_{-\infty}^{\infty} \right.f(t)e^{-j\omega t}\cdot \delta(t-nT_s)dt \\ & = \sum _{n=-\infty}^{\infty}f(nT_s)e^{-j\omega n T_s} \end{aligned} \end{equation} \]而在计算机的存储中，通常不会涉及 \(T_s\) 的值具体是多少，而是按照一个序列进行存储所以采用序列的形式代替，有：
\[\begin{equation} \begin{aligned} F(\omega) & = \sum _{n=-\infty} ^ {\infty} f(n) e^ {-j\omega n} \end{aligned} \end{equation} \]此式即为离散时间的傅里叶变换（DTFT）
观察 (3) 式，我们发现相比于原来的傅里叶变换，首先是积分符号变成了求和符号，这就说明原来的连续时间变量变成了离散时间变量（狄克拉函数的作用）同时，在采样定律的限制下，频域不再是无穷，而是约束在 \(\frac{f_s}{2}\) 之内；
其次是函数自变量由 t 变成了 n，n是序列的索引，满足 \(t = n \times T_s\) ，这样，\(T_s\) 就作为离散时间的最小分度，称为时间分辨率。
最后，发现即便是解决了连续时间的问题，但是求和上下限依旧为无穷，即针对的还是无限长时间序列，得到一个无限长的频谱序列，无法在计算机上实现。因此，需要更近一步处理，即为离散傅里叶变换。
2. 离散傅里叶变换
在离散时间序列傅里叶变换中，有：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} F(\omega) & = \sum _{n=-\infty} ^ {\infty} f(n) e^ {-j\omega n} \end{aligned} \end{equation*} \]我们想，是否可以通过一定的方式，改变无限长的时间序列。幸运的是，在计算机的采样过程中，得到的一定是一段序列，而不是无限长的序列！这就说明，傅里叶变换中时间无限长的概念并不存在。然而，对于这一段时间序列，显然是不能进行傅里叶变换的。这就又回到了非周期函数做傅里叶展开时的问题，面临两种处理方式：
如果让周期趋于无穷，显然不可行。所以只能进行周期延拓。而一旦进行周期延拓，对应的频谱就变成了离散的，受限于采样定律，又是有限的。所以，沿着这个思路就可以解决最初提出的三个问题。
2.1 离散傅里叶变换
假设我们得到的序列共有 N 个数据，那么对应的离散傅里叶变换就是：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} F(\omega) & = \sum _{n=0} ^ {N-1} f(n) e^ {-j\omega n} \end{aligned} \end{equation*} \]但是注意到，周期函数的频谱是离散的，显然不能用 \(\omega\) 作为变量。
类似于时间分辨率，离散的频率一定存在最小分度，将其称为频率分辨率，记作：\(\omega_s\) ,令 k 作为离散频谱的索引，有 \(\omega = k\omega_s\) ，类似于 \(T_s\) 由采样频率决定，\(\omega_s\) 由信号周期决定。这是因为周期越大，频率越小，角频率也就越小，最大的周期就是 \(T=NT_s\)
此时：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} F(k) & = \sum _{n=0} ^ {N-1} f(n) e^ {-j k\omega_s n} \\ & = \sum _{n=0} ^ {N-1} f(n) e^ {-j k \frac{2\pi}{T} n} \\ & = \sum _{n=0} ^ {N-1} f(n) e^ {-j k \frac{2\pi}{NT_s} n} \end{aligned} \end{equation*} \]在计算机的存储中，认为 \(T_s=1\)，将 n 变为序列，就有离散傅里叶变换（DFT）：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} F(k) & = \sum _{n=0} ^ {N-1} f(n) e^ {-j 2\pi \frac{k}{N} n} \end{aligned} \end{equation*} \]我们再回到最初的傅里叶变换，是否也存在离散傅里叶逆变换？答案是存在的。这里不加证明的给出离散傅里叶变换式：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} f(n) & = \frac{1}{N}\sum _{n=0} ^ {N-1} F(k) e^ {j 2\pi \frac{k}{N} n} \end{aligned} \end{equation*} \]就此，得到离散傅里叶变换对：
\[\begin{equation} \begin{aligned} F(k) & = \sum _{n=0} ^ {N-1} f(n) e^ {-j 2\pi \frac{k}{N} n} \\ f(n) & = \frac{1}{N}\sum _{k=0} ^ {N-1} F(k) e^ {j 2\pi \frac{k}{N} n} \end{aligned} \end{equation} \]观察 (3) 式，可以看出：
- 在时域上，通过采样，得到 0~N-1 共 N 个时域数据点，这些时域点之间实际的时间间隔是 \(T_s\) ，对N个点进行周期延拓，即可得到离散的频谱。采样定律限制了离散的频谱不是无限的。
- 在频域上，通过采样，得到 0~N-1 共 N 个频域数据点，这些频域点之间实际的频率间隔是 \(\omega_s\) ，对N个点进行周期延拓，即可得到离散的时谱。采样定律限制了离散的时谱不是无限的。
- 逆变换中的 N 分之一是从 \(d\omega\) 中提出来的。
2.2 离散傅里叶逆变换的证明
在后续的探索中，发现还是有必要对离散傅里叶逆变换（IDFT）进行一个简单的证明。
由傅里叶逆变换公式：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} f(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega \end{aligned} \end{equation*} \]在离散化后，取
\[\begin{equation*} \begin{aligned} t &= nT_s \\ \omega &=k\omega_s \end{aligned} \end{equation*} \]其中满足
\[\begin{equation*} \begin{aligned} T_s &= \frac{1}{f_s} \\ \omega_s &=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{NT_s} \end{aligned} \end{equation*} \]此时，对 \(dw\) 的积分可以看作是对 \(k\omega_s\) 中 k 的求和，因此：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} f(nT_s) &= \frac{1}{2\pi} \sum _{k=0}^{N-1}F(k\omega_s)e^{jk\omega_s nT_s} d(k\omega_s) \end{aligned} \end{equation*} \]当序列化表示， \(T_s=1\) 时，有：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} f(n) &= \frac{1}{2\pi} \sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{jk\frac{2\pi}{NT_s} nT_s} d(k\frac{2\pi}{N})\\ &= \frac{1}{N} \sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{j2\pi \frac{k}{N} n} \end{aligned} \end{equation*} \]即可得证离散傅里叶逆变换。
2.3 关于\(\frac{1}{N}\) 的说明
事实上，离散傅里叶变换也可以从傅里叶级数推出。（关于这部分内容，将在最后的说明中加以阐述）
由傅里叶级数：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} f(t) &= \sum_{-\infty}^{\infty} F(n\omega_1) e^{jn\omega_1 t} \\ F(n\omega_1) &=\frac{1}{T_1} \left[ \left.\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}} \right. f(t) e^{-jn\omega_1 t} dt\right] \quad n &= 0, \pm1, \pm2, \cdots \end{aligned} \end{equation*} \]当取：
\[\begin{equation*} \begin{aligned} t &= nT_s \\ T_1&=NT_s\\ \omega &=k\omega_s \\ T_s &= \frac{1}{f_s} \\ \omega_s &=\frac{2\pi}{T_1}=\frac{2\pi}{NT_s} \\ \end{aligned} \end{equation*} \]可以得到：
\[\begin{equation} \begin{aligned} F(k) & = \frac{1}{N}\sum _{n=0} ^ {N-1} f(n) e^ {-j 2\pi \frac{k}{N} n} \\ f(n) & = \sum _{k=0} ^ {N-1} F(k) e^ {j 2\pi \frac{k}{N} n} \end{aligned} \end{equation} \](5) 式与 (4) 式比较，发现 \(\frac{1}{N}\) 的位置出现在不同的地方！那么这两种公式孰对孰错？
事实上，这两种写法都是正确的。因为在傅里叶变换的过程中，我们关注点在于后面的 \(F(k)\) ，至于前面的系数，更多的是为了满足正变换和逆变换之间的自洽，即可以相互推导即可。所以， \(\frac{1}{N}\) 的位置不论放在哪里都可以，哪怕写成下面的形式也是可以的：
\[\begin{equation} \begin{aligned} F(k) & = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{n=0} ^ {N-1} f(n) e^ {-j 2\pi \frac{k}{N} n} \\ f(n) & = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{k=0} ^ {N-1} F(k) e^ {j 2\pi \frac{k}{N} n} \end{aligned} \end{equation} \]再利用Python实现的过程中，我们可以再次深刻的认知到这一点。
接下来，我们通过Python中程序验证公式的正确性。[附录 Ⅱ ]
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