引言
做这一份专题，我想说的是：每个在答案里看似高深莫测的构造，实际上都是有思路可源的。
在这里我叙述的思路有很多是失败的，但联想到会极自然，希望对读者有助。
高联代数百题(2022)
T1
- 设非负实数\(a_1,a_2,\cdots,a_{100}\)满足：\(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}\le 1(1\le i\le 100)\)，其中\(a_{101}=a_1,a_{102}=a_2\)，试求$$I=\Sigma_{i=1}^{100}a_ia_{i+2}$$的最大值
这道题很好猜最大值：当\(a_{2k-1}=\frac{1}{2},a_{2k}=0(1\le k\le50)\)时，\(I_{max}=\frac{25}{2}\)
由此我们引发对\(I\)表达式进行奇偶裂项的思考，即$$I=\Sigma_{k=1}^{50}a_{2k-1}a_{2k+1} + \Sigma_{k=1}^{50}a_{2k}a_{2k+2}$$
一方面
随后容易想到结合题目条件用均值不等式\(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\)与\(xy\le(\frac{x+y}{2})^2\)进行放缩
但我们很快发现这种放缩不合理，源于取等时\(a_{2k}+a_{2k+1}+a_{2k+2}=\frac{1}{2}<1\)
另一方面
引发我们对\(I\)式强度的思考，我们用调整的思想处理\(I\)
若\(a_{k}+a_{k+1}+a_{k+2}=1\)，我们称序列第\(j\)项被覆盖(\(j\in\{k,k+1,k+2\}\))
我们可以发现取最大值时，每一项都能被覆盖（若存在一项不被覆盖，则将此项调大至被覆盖，结果会变大）
而又\(100\)并非\(3\)的倍数，很容易想到存在数字被覆盖了多次
因此引发到局部的思考，结合奇偶裂项，覆盖的思想与取等条件，容易放缩：
\(a_{2k-1}a_{2k+1}+a_{2k}a_{2k+2}\le (1-a_{2k}-a_{2k+1})a_{2k+1}+a_{2k}(1-a_{2k}-a_{2k+1})=(1-a_{2k}-a_{2k+1})(a_{2k}+a{2k+1})\le\frac{1}{4}\)
从而将分拆得到的\(50\)项累加，即得答案
T2
- 给定正整数\(n\ge 2\)，非负实数\(a_i(1\le i\le n)\)满足\(\Sigma_{i=1}^{100}a_i=1\)，试求$$I=\Sigma_{1\le i<j\le n}(j-i)a_ia_j$$最大值
这道题很好猜最大值：当\(a_1=a_n=\frac{1}{2}\)时，\(I_{max}=\frac{n-1}{4}\)
原因很好想，盈亏问题，直观感悟，但最重要的是证明不好想
这个式子结构很复杂，因此直观思考是代数变形或还原简化结构
作者思考时，觉得这个结构有点类似于信息上的树状数组区间加法区间赋值的情形，故考虑用序列\(a\)的前缀和进行转换。当然不知道也不要紧，这个引发思考是极显然的。
自此，我们设\(S_k=a_1+a_2+\cdots+a_k(1\le k\le n)\)，有\(S_n=1\)。因而对某个\(i\)，有
从而
\[I=\Sigma_{i=2}^{n}(a_i\times\Sigma_{j=1}^{i-1}S_j) \]容易联想到将此式对\(S_i\)整理以构造新的前缀和进行简化：
\[I=\Sigma_{i=2}^{n}(a_i\times\Sigma_{j=1}^{i-1}S_j)=\Sigma_{i=1}^{n-1}(S_i\Sigma_{j=i+1}^{n}a_j)=\Sigma_{i=1}^{n-1}(S_i(S_n-S_i))=\Sigma_{i=1}^{n-1}(S_i-S_i^2)\le\Sigma_{i=1}^{n-1}\frac{1}{4}=\Sigma{n-1}{4} \]故成立，注意到取等条件即\(S_1=S_2=\cdots=S_n=\frac{1}{2}\)，用\(a_i=S_i-S_{i-1}(2\le i\le n),a_1=S_1\)转化，即\(a_1=a_n=\frac{1}{2}，a_2=a_3=\cdots=a_{n-1}=0\)时\(I_{max}=\frac{n-1}{4}\)
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