群论类题目

先证一下一些相关的定理。

轨道-稳定子定理

即：

$|G^x| \times |G(x)|=|G|$其中 $G$ 为置换群，$x$ 为任意元素。

$proof:$

根据置换群定义：$\varphi(g,\varphi(p,x))=\varphi(g \times p,x))$。

然后也就是显然不动置换个数和轨道大小成反比，观察不难发现他们乘积即为群大小。

Burnside

即：

$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} X^g$

$proof:$ 对于后面的求和我们显然发现，一个置换对应一个集合时，要么贡献是1，要么是0。

既然是一一对应的，那式子可以写成：

$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{x \in X} G^x$

$|X/G|=\sum\limits_{x \in X} \frac{1}{|G(x)|}$