问题描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。

提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 0 <= nums[i] <= 1000

示例

示例 1：

输入：nums = [2,3,2]
输出：3
解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：4
解释：你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 3：

输入：nums = [1,2,3]
输出：3

解题思路

这是一个简单的动态规划问题，其中一个复杂的点是所有房屋围成了一圈，不能同时选第一和最后的房子，如何保证这一点呢？如果我们按常规的动态规划思路来解，我们就要记录之前的状态是否选择了第一间房子，这增加了代码的复杂性。

另一个思路是，直接运行两次动态规划，第一次可选房子的范围是[0, n - 2]，第二次可选房子的范围是[1, n - 1]。这样就保证了第一和最后一间房子不会同时被选中。

接着就是常规的动态规划问题，状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1])

边界条件为：

dp[i] = nums[0], 当nums.size() == 1 时
dp[i] = max(nums[1], nums[2]), 当nums.size() == 2 时

代码如下：

class Solution {
public:

    int robRange(vector<int>& nums, int start, int end){
        if(start == end){
            return nums[start];
        }
        int a = nums[start];
        int b = max(nums[start], nums[start + 1]);
        int maxProfit = b;
        int cnt = 0;
        for(int i = start + 2; i <= end; i++){ // 动态规划
            if(cnt & 1){
                maxProfit = max(b + nums[i], a);
                b = maxProfit;
            }
            else{
                maxProfit = max(a + nums[i], b);
                a = maxProfit;
            }
            cnt ^= 1;
        }
        return maxProfit;
    }

    int rob(vector<int>& nums) {
        const int n = nums.size();
        if(n == 1){ // 边界条件
            return nums[0];
        }
        else if(n == 2){ // 边界条件
            return max(nums[0], nums[1]);
        }
        else{ // 进行两次动态规划，选择其中最大值
            return max(robRange(nums, 0, n - 2), robRange(nums, 1, n - 1));
        }
    }
};