问题描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

示例

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

解题思路

这题是一道典型的动态规划问题，我们不难发现，从起点到 (i,j) 的路径数量只与 (i - 1, j), (i, j - 1) 有关。因此，状态转移方程如下：

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

边界条件为：

dp[i][0] = 1
dp[0][j] = 1

代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 1));
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};