一些约定:
- 本文使用弧度制,即 \(\pi=180^{°}\)。
对于上图,我们讨论 \(\alpha\) 时,称 \(AB\) 为 \(a\),\(BC\) 为 \(b\),\(AC\) 为 \(c\)。即邻边为 \(a\),对边为 \(b\),斜边为 \(c\)。
三角函数的一些公式
- \(\large\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\quad\quad(1)\).
\(\large\tan(x)=\frac{a}{b}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).
- \(\large\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\quad\quad(2)\).
同式 \((1)\) 的证明。
- \(\large\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\quad\quad(3)\).
\(\large(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}\).
$\because $ 勾股定理 \(\large a^2+b^2=c^2\).
\(\large\therefore \sin^2(x)+\cos^2(x)=1\).
- \(\large1+\tan^2(x)=\sec^2(x)\quad\quad(4)\).
$\because $ 式 \(\large(3)\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\).
\(\large\therefore \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}\).
\(\large\therefore (\frac{\sin(x)}{\cos(x)})^2+1=(\frac{1}{\cos(x)})^2\).
又 $\because $ 式 \(\large(1)\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).
\(\large\therefore \tan^2(x)=\sec^2(x)\).
- \(\large1+\cot^2(x)=\csc^2(x)\quad\quad(5)\).
同式 \((4)\) 的证明。
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