微积分的一些重要公式/极限/求导过程

一些约定：

1. 本文使用弧度制，即 \(\pi=180^{°}\)。
2. 
   对于上图，我们讨论 \(\alpha\) 时，称 \(AB\) 为 \(a\)，\(BC\) 为 \(b\)，\(AC\) 为 \(c\)。即邻边为 \(a\)，对边为 \(b\)，斜边为 \(c\)。

三角函数的一些公式

• \(\large\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\quad\quad(1)\).

\(\large\tan(x)=\frac{a}{b}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

• \(\large\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\quad\quad(2)\).

同式 \((1)\) 的证明。

• \(\large\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\quad\quad(3)\).

\(\large(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}\).

$\because $ 勾股定理 \(\large a^2+b^2=c^2\).

\(\large\therefore \sin^2(x)+\cos^2(x)=1\).

• \(\large1+\tan^2(x)=\sec^2(x)\quad\quad(4)\).

$\because $ 式 \(\large(3)\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\).

\(\large\therefore \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}\).

\(\large\therefore (\frac{\sin(x)}{\cos(x)})^2+1=(\frac{1}{\cos(x)})^2\).

又 $\because $ 式 \(\large(1)\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

\(\large\therefore \tan^2(x)=\sec^2(x)\).

• \(\large1+\cot^2(x)=\csc^2(x)\quad\quad(5)\).

同式 \((4)\) 的证明。