相机模型

    变换矩阵P的所有有效信息为左边3*3上三角矩阵，将其单独提取处理表示为 ,

    x=PX可改写为，这里使用代替X强调了该三维空间坐标是以相机中心为原点建立起来的坐标系（如上图）。

    接下来需要引入世界坐标系，其目的是将任意世界坐标下的三维点映射到图像平面，

     如上图所示，右边是任意世界坐标，左边是相机坐标，世界坐标系上任意一点转换到相机坐标需要如下步骤：

     1）将世界坐标系平移 -C，其中C是相机中心在世界坐标系上的坐标值；

     2）以C为中心，绕XYZ轴旋转合适的角度使得世界坐标与相机坐标重合；

     以上变换可表示为，R为旋转矩阵，三维旋转可参考 三维旋转 - 罗飞居 - 博客园 (cnblogs.com)

     将其整理成齐次变换为。

     因此，对任意世界坐标系下三维坐标点，投影到像平面由以下步骤完成：

     1）将世界坐标变换到相机坐标，2）在相机坐标下将三维空间点投影到二维图像平面，

     整合成矩阵表达为，此时，X为任意世界坐标系下点，x为相平面坐标点。

     变换矩阵增加了3个平移自由度和3个旋转自由度，该矩阵一共有11个自由度。

     矩阵K表达了相机相关属性，为相机内参，矩阵R，C表达了世界坐标系与相机坐标之间的关系，称为相机外参。

      一个3*4的矩阵包含了12个元素，由于一组各元素比值相同的变换对应一个齐次变换，因此该矩阵正好包含了11个自由度，

      所以，任意一组各元素比值一致的3*4矩阵确定了一个唯一的有限投影相机变换！

2 通过投影变换矩阵获得相机信息

    投影变换矩阵是以上模型的数学描述，当变换矩阵P已知时，可以得到模型中各元素的相关信息。       

    1）相机中心（camera centre）

     相机中心C(欧式坐标)由变换矩阵P的零空间确定，理由如下：

     对C点施加变换P可表示为 ，为投影矩阵的零空间。

    2）列空间

     将变换矩阵P表示为，则分别表示世界坐标系下XYZ坐标轴在图像上的消失点（vanishing point），

     考察对X轴上无穷远点施加矩阵P变换得到，将X轴上无穷远点映射到一个图像点，对其他轴也有类似的结论。

      而则为世界坐标上零点到图像平面的映射点。

    3）行空间

      将变换矩阵P表示为行向量组合，则确定了主平面（principal plane），理由如下：

      主平面是经过相机中心且平行于像平面的平面（XY平面），很显然该平面上任意点都投影到像平面的无穷远点，

      即，进一步有，因此确定了主平面。

      分别确定了不同的轴平面（axis plane），理由如下：

      考虑三维空间点满足，则矩阵变换满足，因此三维空间点被投影到像平面y轴上，

      同时有相机中心点C满足约束，因此定义了相机中心到图像坐标y轴构成的平面。

       同理，定义了相机中心到图像坐标x轴构成的平面。

    4）像主点（principal point）与主轴（principal axis）

       在求像主点和主轴时，对变换矩阵P进行适当改写更加方便描述，令，，

       像主点是相机中心到像平面上的投影点，既然确定了主平面，且主平面与像平面平行，

       则像平面的法向量为的前三个元素构成，在法向量上无穷远点为,

       对该点投影到像平面为。

       已知像平面的法向量为，法向量方向可以通过考察在相机坐标系下变换得到，即。

3 三维点与二维点映射关系

    1）已知三维空间点X,通过变换x=PX可以得到在像平面上的投影点，对于无穷远点，

          有，因此仅有3*3子矩阵影响了无穷远点映射。

    2）已知图像上点x，根据相机模型，无法确定一个唯一的三维点，但可以确定一条经过相机中心到无穷远点的射线，

         在该射线上的任意点（除相机中心）都能映射到x。

         将变换矩阵可等价表示为 ，

        得到相机中心的欧式坐标为 ；

         同时图像上点x被映射到三维空间上一条射线，该射线与无穷远平面相交为，

         反过来看则被变换矩阵P映射到图像点x，即，

         对于finite projective camera，其变换矩阵的秩为3，子矩阵M为满秩矩阵，因此有，；

          综上得到三维映射射线为 。

4 Affine Camera(Infinite Camera)

    仿射相机的相机变换矩阵P的最后一行为，该变换下无穷远点被映射到无穷远点。

    仿射相机可以在finite projective camera基础上对焦距（flocal length）和相机到物体的距离求极限得到。

    finite projective camera的变换矩阵可重写为,

    给定一个时间变量t，当t从0开始增加时，相机中心沿着主轴慢慢远离物体，

    可表示为；

    当相机原理时，成像会变小，考虑增加焦距以抵消相机远离，同时为了让成像保持大小不变，

    令，将焦距增加到，

    得到，

    当t趋近无穷大时，有，即为仿射相机矩阵。

参考资料：multiple view geometry in computer vision  Richard Hartley && Andrew Zisserman