目录
- 约数、素数、合数（第一章）
- 素因数分解（第一章、第二章）
- 盈数、亏数、完满数（第二章）
- 亲和数
- 斐波那契数列（第三章、第五章）
- 费马小定理、伪素数、卡迈克尔数（第六章）
- 素数的生成算式（第六章）
- 卡布列克数（第七章）
- 三角数（第七章）
- 走马灯数（第八章）
- 梅森数、梅森素数（第八章、第九章）
- 毕达哥拉斯素数（第九章）
- 卢卡斯数列（第十章）
- 角谷猜想（Collatz猜想）（第十二章）
约数、素数、合数（第一章）
若正整数 \(b\) 可以整除正整数 \(a\)，即 \(a\) 除以 \(b\) 的余数为 \(0\)，则称 \(b\) 为 \(a\) 的约数。例如，\(3\) 能整除 \(6\)，所以 \(3\) 就是 \(6\) 的约数。因为所有的数都可以被 \(1\) 和它本身整除，所以任意数都包括 \(1\) 和它本身这两个约数。
除了 \(1\) 和它本身外不再有其它约数，但大于 \(1\) 的自然数叫做素数。按照从小到大的顺序有 \(2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots\)。
不是 \(1\) 且不是素数的数叫合数。
素因数分解（第一章、第二章）
把一个合数用素数相乘的形式来表示的方法，就叫做素因数分解。例如 \(78620\) 可以表示为 \(2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 13 \times 43\)，这就是对 \(78260\) 进行了素因数分解。所有的书都只有一种素因数分解的方式。
”短除法”是一种分解素因数的方法，即从最小的素数 \(2\) 开始除起。这种方法很简单，但是如果对数值大的数进行素因数分解，要做的除法次数会增多，所以需要的是金也相对较长。
除短除法外，分解素因数还有很多其他的方法，但目前仍未找到快速分解大数的素因子的方法。所以这类复杂的大数的素因数分解常用语信息加密等。
盈数、亏数、完满数（第二章）
若一个数除去本身以外的所有月数之和大于其本身，那么该数称为盈数。\(12\) ”除去本身以外的约数” 是 \(1, 2, 3, 4, 6\)，它们的和为 \(16\)，大于 \(12\)，所以 \(12\) 是盈数。
若一个数除去本身以外的所有月数之和小于其本身，那么该数称为亏数。\(15\) ”除去本身以外的约数” 有 \(1, 3, 5\)，它们的和为 \(9\)，小于 \(15\)，故 \(15\) 是亏数。
若一个数除去本身以外的所有月数之和恰好等于其本身，那么该数称为完满数。最小的完满数是 \(6\)（\(6\) 除去本身以外的约数有 \(1, 2, 3\)，这三个约数之和恰好等于 \(6\)）。
亲和数
如果两个正整数，一方 ”除去本身以外的全部月数之和” 正好等于另一方，且反之也成立的话，我们把这两个正整数称为一对亲和数。最小的一对亲和数是 \(220\) 和 \(284\)。\(220\) 除去本身以外的所有约数之和为 \(1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284\)，\(284\) 除去本身以外的所有约数之和为 \(1+2+4+71+142=220\)。
斐波那契数列（第三章、第五章）
斐波那契数列的前两项是 \(1, 1\)，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
\(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots\)
如上所述，左边第三项 \(2\) 是左边第一项 \(1\) 和第二项 \(1\) 之和；第四项 \(3\) 是第二项 \(1\) 和第三项 \(2\) 之和。这个数列中的数叫作斐波那契数。
斐波那契数列十分有意思。例如，花朵的花瓣数等自然界中常见的数，也符合斐波那契数列的规律。而且，任何正整数都可以表示为若干个不连续的斐波那契数之和，且表示方法是唯一的。这被称作齐肯多夫定理。
费马小定理、伪素数、卡迈克尔数（第六章）
假设正整数 \(a\) 与正整数 \(n\) 的公约数只有 \(1\)。
费马小定理如下所示。
若 \(n\) 为素数，\(a^{n-1} \equiv 1 (\text{ mod }n)\)
”\(a^{n-1} \equiv 1 (\text{ mod }n)\)” 表示 ”\(a^{n-1}\) 与 \(1\) 除以 \(n\) 的余数相同”，由此得出 ”\(a^{n-1}\) 除以 \(n\) 的余数为 \(1\)”。
费马小定理是用于判定是否为素数的定理之一。若想知道 \(n\) 是否为素数，可以选择 \(a\)，计算出 \(a^{n-1}\)，然后用得出的结果除以 \(n\)，看余数是否为 \(1\)。如果 \(n\) 是素数，按照上述定理，余数必定为 \(1\)。
需要注意的是，这个过程中可能出现 \(n\) 不是素数，但对 \(n\) 取某一个或某几个 \(a\) 时，邓毅 \(a^{n-1} \equiv 1(\text{ mod } n)\) 都成立的情况。本作品中举出了 \(341\) 这个例子。假设 \(a\) 为 \(2\)，用 \(2^{341-1}\) 即 \(2^{340}\) 除以 \(341\)，余数为 \(1\)。故按照该定理 \(n = 341, a = 2\) 时，\(a^{n-1} \equiv 1 (\text{ mod } n)\) 成立。但是 \(341\) 是一个合数，可以分解为 \(11\) 和 \(31\)，并非数数。我们把这样的事 \(n\) 叫做 ”伪素数”。
要证明伪素数不是素数，可以通过随机选取多个 \(a\) 的方式，即取不同的 \(a\)，按照上述方式对伪素数进行验证，找到余数不是 \(1\) 的情况。例如，对潜水伪素数 \(341\)，取 \(3\) 作为 \(a\)，然后用 \(3^{341-1}\) 即 \(3^{340}\) 除以 \(341\)，计算出与舒适 \(56\)，不是 \(1\)。由此可以确定 \(341\) 不是素数。
不过有些合数，无论用什么 \(a\) 去测试，\(a^{n-1} \equiv 1 (\text{ mod } n)\) 都成立（这意味着费马小定理的逆定理不成立），我们把这样的书叫做卡迈克尔数。我们无法使用费马小定理判断卡迈克尔数是否为素数。本作品中的 \(464052305161\) 就是卡迈克尔数。
素数的生成算式（第六章）
虽然现在我们仍未找到可以生成所有素数或者只生成素数的算式（函数），但是我们已经找到了能够生成绩哦度哦素数的算式，如 \(f(x) = x^2 - x + 41\)。当 \(x\) 的取值范围在 \(1\) 到 \(40\) 之间时，该算式的结果均为素数。
但 \(f(41) = 41^2 - 41 + 41 = 41^2\) 的结果很明显不是素数。如果 \(x\) 大于 \(41\)，那么 \(f(x)\) 的结果中还将出现很多所非素数。
卡布列克数（第七章）
若某个正整数平方后，其结果可以从中间数位分成两个正整数，且这两个正整数之和恰好等于原始数，那么我们把这样的特殊数叫做卡布列克数。（平方后得到的数的位数为偶数，则从中间分成前后两个位数相同的数；平方后得到的数的位数为奇数，则前一个数的位数要比后一个数少一位。）
例：
- \(45^2 = 2025\) \(\rightarrow\) 把 \(2025\) 分成 \(20\) 和 \(25\) \(\rightarrow\) \(20 + 25 = 45\)
- \(297^2 = 88209\) \(\rightarrow\) 把 \(88209\) 分成 \(88\) 和 \(209\) \(\rightarrow\) \(88 + 209 = 297\)
三角数（第七章）
\(1, 3, 6, 10\) 等数量的点可以排列成三角形，这些数叫做三角数。所有正整数都可以表示为 \(3\) 个以内的三角形数之和。
走马灯数（第八章）
整数 \(142857\) 的 \(2\) 倍到 \(6\) 倍均为相同数字的不同排列。
- \(142857 \times 2 = 285714\)
- \(142857 \times 3 = 428571\)
- \(142857 \times 4 = 571428\)
- \(142857 \times 5 = 714285\)
- \(142857 \times 6 = 857142\)
不过，\(142857 \times 7 = 999999\)。
梅森数、梅森素数（第八章、第九章）
梅森数指可以表示为 \(2^n-1\) 的数，即比 \(2\) 的乘方小 \(1\) 的数。梅森数中的素数又称为梅森素数，如 \(3, 7, 31, 127, 8191\) 等。
当 \(p\) 为素数，且 \(2^p-1\) 为梅森素数时，\(2^{p-1}(2^p-1)\) 为完满数。因此，梅森素数是寻找完满数的线索。
毕达哥拉斯素数（第九章）
在素数中，存在无数可以用 \(4n+1\)，即某数 \(n\) 的 \(4\) 倍加 \(1\) 表示的素数，我们将其称为毕达哥拉斯素数。毕达哥拉斯素数可以表示为 \(2\) 个平方数之和，即 \(a^2 + b^2\)（反之，若 \(a^2+b^2\) 是 \(2\) 以外的素数，则其必定是毕达哥拉斯素数）。
例如，\(5\) 是可以表示为 \(4 \times 1 + 1\) 的毕达哥拉斯素数，\(5\) 也等于 \(1^2+2^2\)。下面再举几个其他的例子。
- \(13\)：\(4 \times 3 + 1\)，\(2^2 + 3^2\)
- \(17\)：\(4 \times 4 + 1\)，\(1^2 + 4^2\)
- \(29\)：\(4 \times 7 + 1\)，\(2^2 + 5^2\)
卢卡斯数列（第十章）
卢卡斯数列和斐波那契数列一样，后项均为前两项之和。但是斐波那契数列的前两项都为 \(1\)，而卢卡斯数列的第二项是 \(3\)（另一种定义方式是，第一项是 \(2\)，第二项是 \(1\)，后面为 \(3,4,7, 11, \ldots\)）
\(1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, \ldots\)
角谷猜想（Collatz猜想）（第十二章）
对于任意数进行如下操作：
- 偶数除以 \(2\)；
- 奇数乘以 \(3\) 再加 \(1\)。
反复进行如上操作后，其最终结果为 \(1\)，这就是角谷猜想（Collatz猜想）。该猜想是否对所有数都成立仍流贷证明，目前已证明，即使是很大的数，该假说也成立。
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