算法设计与分析（矩阵连乘问题

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• 矩阵连乘

• 代码
• 代码说明

• 小结：

矩阵连乘

矩阵连乘问题是一个经典的动态规划问题，旨在通过确定矩阵的乘法顺序来最小化所需的乘法运算次数。在矩阵连乘中，我们有一系列矩阵 ( A_1, A_2, …, A_n )，其维度由一个数组 ( p ) 定义，其中 ( p[i-1] ) 是矩阵 ( A_i ) 的行数，而 ( p[i] ) 是矩阵 ( A_i ) 的列数。为了计算两个矩阵 ( A_i ) 和 ( A_j ) 的乘积，所需的标量乘法次数为 ( p[i-1] * p[k] * p[j] )，其中 ( k ) 是乘法操作的一个中间矩阵。

代码

在本博客中，我们将使用动态规划来解决这一问题，通过构建一个表来存储每个子问题的最优解。以下是实现这一算法的完整代码。

#include <iostream> 
// N：矩阵个数 
#define N 6

using namespace std;

// 递推求最优值 
void MatrixChain(int *p, int n, int m[][N+1], int s[][N+1]){
	/*
	p：各矩阵大小 
	n：矩阵个数 
	m：最优值（[i, j]相乘） 
	s：最优解 
	*/ 
	for (int i=1; i<=n; i++) m[i][i] = 0;	// 初始化自己乘以自己的次数为0 
	// r：相乘的矩阵的个数 
	for (int r=2; r<=n; r++){
		// i：[i, i+r-1] 矩阵相乘 
		for (int i=1; i<=n-r+1; i++){
			int j = i+r-1;
			// 初始 m[i][j] 为 [i, i]*[i+1, i+r-1]
			m[i][j] = m[i][i] + m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
			s[i][j] = i;
			// 找出最小乘积次数 k = [i+1, j-1] 
			for (int k=i+1; k<j; k++){
				int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
				if (t < m[i][j]){
					m[i][j] = t;
					s[i][j] = k;
				}
			}
		}
	}
} 

// 递归构建最优解
void TraceBack(int i, int j, int s[][N+1]){
	// 终止条件 
	if (i == j) cout<<"A"<<i;
	
	else{
		cout<<"(";
		TraceBack(i, s[i][j], s);
		TraceBack(s[i][j]+1, j, s);
		cout<<")";	
	}
} 

int main() {
	int p[N+1]={30,35,15,5,10,20,25};
	int m[N+1][N+1],s[N+1][N+1];
	
	MatrixChain(p, N, m, s);
	TraceBack(1, N, s);
}

代码说明

在这段代码中，我们定义了两个主要的函数：MatrixChain 和 TraceBack。

MatrixChain 函数负责计算矩阵的最优乘法次数，并填充两个表 ( m ) 和 ( s )。其中，( m[i][j] ) 存储从矩阵 ( A_i ) 到 ( A_j ) 的最小乘法次数，( s[i][j] ) 则存储实现该最小乘法次数的分割点。

TraceBack 函数用于递归地输出最优的矩阵乘法顺序。在找到最优解后，通过回溯函数，可以有效地重构出矩阵相乘的顺序。

通过运行 main 函数，我们为矩阵链的维度提供了示例输入，并调用这两个函数，输出矩阵相乘的最优顺序。矩阵连乘不仅在计算机科学中有广泛应用，还在图像处理、科学计算等多个领域发挥着重要作用。