【计算机算法】【图论】【最优匹配与点云对准问题】最（极）大团算法

问题

团与最大团的定义

图顶点集的子集满足任意两个顶点相邻，称该子集是该图的一个团。图的所有团中顶点最多的，即最大的一个或多个，称为图的最大团或极大团。

图的最大团的实际应用问题

CVPR2023最佳论文之一用最大团算法实现鲁棒的点云对准，有效解决外点问题。顾名思义有矛盾：点云对准，即3D-3D点匹配，是各自独立的关联，最大团中顶点是两两关联，乍一看最大团算法无法适用。原论文作者们将候选匹配点对作为图的顶点，顶点相邻关系被定义为匹配点对之间满足匹配一致性约束，两帧点云中有两对匹配点 x − x ′ x-x^{\prime} x−x′、 y − y ′ y-y^{\prime} y−y′，如设一致性约束为距离阈值d
a b s ( ∣ ∣ x − y ∣ ∣ − ∣ ∣ x ′ − y ′ ∣ ∣ ) < d abs(||x-y||-||x^{\prime}-y^{\prime}||)< d abs(∣∣x−y∣∣−∣∣x′−y′∣∣)<d
如何求图的最大团？

求解图最大团

启发式思路：遍历顶点，对每个顶点查找其相邻顶点，构建初始团，遍历该团的顶点，对其相邻顶点，若已经在团内的跳过，判断可否加入团，保存极大团；比较各次结果的大小。
例，

Python代码实现

# 检查重复的团
def isNotRepeat(all, a):
    for i in all:
        s = set(i)
        sa = set(a)
        if sa.issubset(s):
            return False
    return True


def findMaxClique(graph):
    print("Start")
    clique_set = []
    # 遍历该团的顶点，
    for a in graph.keys():
        # 遍历顶点，对每个顶点查找其相邻顶点，构建初始团
        cli_can = [a, graph[a][random.randrange(0, len(graph[a]))]]
        # 跳过已经被结果中的某个团包含的种子团
        if isNotRepeat(clique_set, cli_can):
            for i in cli_can:
                # 对其相邻neighbour顶点，若已经在团内的跳过，判断可否加入团，
                nb = graph[i]
                for j in nb:
                    if j in cli_can:
                        continue
                    else:
                        is_memb = True
                        for ii in cli_can:
                            if j not in graph[ii]:
                                is_memb = False
                                break
                        if is_memb:
                            cli_can.append(j)
            clique_set.append(cli_can)
    n_max = 0
    mc = None
    # 比较各个团的大小。
    for c in clique_set:
        num = len(c)
        if num > n_max:
            n_max = num
            mc = c
    return mc
if __name__ == "__main__":
    Gc = {
        1: [2, 5],
        2: [1, 3, 4, 5, 6],
        3: [2, 4, 6],
        4: [2, 3, 5, 6],
        5: [1, 2, 4],
        6: [2, 3, 4],
    }
    print("Max Clique Problem")
    print(findMaxClique(Gc))

BronKerbosch算法