克鲁斯卡尔算法

• 应用场景

某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短? 

• 简介

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

• 实现步骤

第1步：将边<E,F>加入R中。边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第2步：将边<C,D>加入R中。上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第3步：将边<D,E>加入R中。上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第4步：将边<B,F>加入R中。上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。 
第5步：将边<E,G>加入R中。上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 
第6步：将边<A,B>加入R中。上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>

• 判断是否构成回路

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。 
(02) D的终点是F。 
(03) E的终点是F。 
(04) F的终点是F。

终点：就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 
因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。
这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路

• 代码实现

public class KruskalCase {

  public static void main(String[] args) {
    char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
    //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
    int matrix[][] = {
        /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
        /*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
        /*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
        /*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
        /*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
        /*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
        /*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
        /*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}};
    //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.
    //创建KruskalCase 对象实例
    KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
    //输出构建的
    kruskalCase.print();
    kruskalCase.kruskal();
  }

  private int edgeNum; //边的个数
  private char[] vertexs; //顶点数组
  private int[][] matrix; //邻接矩阵
  //使用 INF 表示两个顶点不能连通
  private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
  
  //构造器
  public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
    //初始化顶点数和边的个数
    int vlen = vertexs.length;
    
    //初始化顶点, 复制拷贝的方式
    this.vertexs = new char[vlen];
    for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
      this.vertexs[i] = vertexs[i];
    }
    
    //初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
    this.matrix = new int[vlen][vlen];
    for(int i = 0; i < vlen; i++) {
      for(int j= 0; j < vlen; j++) {
        this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
      }
    }

    //统计边的条数
    for(int i =0; i < vlen; i++) {
      for(int j = i+1; j < vlen; j++) {
        if(this.matrix[i][j] != INF) {
          edgeNum++;
        }
      }
    }
  }

  //打印邻接矩阵
  public void print() {
    System.out.println("邻接矩阵为: \n");
    for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
      for(int j=0; j < vertexs.length; j++) {
        System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
      }
      System.out.println();//换行
    }
  }

  public void kruskal() {
    int index = 0; //表示最后结果数组的索引
    int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
    //创建结果数组, 保存最后的最小生成树
    EData[] rets = new EData[edgeNum];
    //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边
    EData[] edges = getEdges();
    System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
    //按照边的权值大小进行排序(从小到大)
    sortEdges(edges);
    //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
    for(int i=0; i < edgeNum; i++) {
      //获取到第i条边的第一个顶点(起点)
      int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4
      //获取到第i条边的第2个顶点
      int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5
      //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
      int m = getEnd(ends, p1); //m = 4
      //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
      int n = getEnd(ends, p2); // n = 5
      //是否构成回路
      if(m != n) { //没有构成回路
        ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
        rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
      }
    }
    //<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
    //统计并打印 "最小生成树", 输出  rets
    System.out.println("最小生成树为");
    for(int i = 0; i < index; i++) {
      System.out.println(rets[i]);
    }
  }

  /**
   * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序
   * @param edges 边的集合
   */
  private void sortEdges(EData[] edges) {
    for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
      for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
        if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换
          EData tmp = edges[j];
          edges[j] = edges[j+1];
          edges[j+1] = tmp;
        }
      }
    }
  }

  /**
   * @param ch 顶点的值，比如'A','B'
   * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
   */
  private int getPosition(char ch) {
    for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
      if(vertexs[i] == ch) {//找到
        return i;
      }
    }
    //找不到,返回-1
    return -1;
  }

  /**
   * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组
   * 是通过matrix 邻接矩阵来获取
   * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]
   * @return
   */
  private EData[] getEdges() {
    int index = 0;
    EData[] edges = new EData[edgeNum];
    for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
      for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) {
        if(matrix[i][j] != INF) {
          edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
        }
      }
    }
    return edges;
  }

  /**
   * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同
   * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成
   * @param i : 表示传入的顶点对应的下标
   * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解
   */
  private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
    while(ends[i] != 0) {
      i = ends[i];
    }
    return i;
  }
 
}

//创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边
class EData {
  char start; //边的一个点
  char end; //边的另外一个点
  int weight; //边的权值
  //构造器
  public EData(char start, char end, int weight) {
    this.start = start;
    this.end = end;
    this.weight = weight;
  }
  //重写toString, 便于输出边信息
  @Override
  public String toString() {
    return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";
  }
}